Математика онлайн. Доступно о сложном
Начало серии статей об извлечении корней в комплексном случае
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Сейчас мы разберем, как связаны «школьный» материал об извлечении корней и те сведения, которые получаются на основе комплексного анализа.
Будем извлекать, например, корень 5-й степени из числа 32. Очевидно, что будет 2.
Теперь вспомним, что действительное число можно записать как комплексное с мнимой частью, равной нулю: x = x + 0i.
Следовательно, к нему можно применить формулу извлечения корня для комплексных чисел (подробнее – здесь).
Запишем число 32 = 32 + 0i в тригонометрической форме и извлечем корень:
Выпишем все значения корня:
Видим, что арифметический квадратный корень соответствует k = 0.
Аналогичные результаты будут получаться и в других примерах.
Если n - нечетное число, то получается один действительный корень. Если же n четно, то количество действительных корней будет равно двум.
Все остальные корни – комплексные.
В обоих случаях количество комплексных корней – четное.
При этом множество комплексных корней можно разбить на пары, состоящие из комплексно-сопряженных чисел (т.е. таких чисел, у которых действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком).
В рассмотренном примере комплексно-сопряженными будут первое и четвертое значения, а также второе и третье:
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале