Долгое время понятия о движениях были основаны на работах Аристотеля, в которых утверждалось, что скорость падения пропорциональна весу тела, а движение в отсутствие сил невозможно. Кинематика и динамика не разделялись. Только в конце XVI века этим вопросом подробно занялся Галилео Галилей. Изучая свободное падение (знаменитые опыты на Пизанской башне) и инерцию тел, он доказал неправильность идей Аристотеля. Итоги своей работы по данной теме он изложил в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».
Рождением современной кинематики можно считать выступление Пьера Вариньона перед Французской Академией наук 20 января 1700 года. Тогда впервые были даны понятия скорости и ускорения в дифференциальном виде.
В XVIII веке Ампер первый использовал вариационное исчисление в кинематике.
Дадим определение предмета "кинематика":
Кинема́тика м.т. — раздел механики, изучающий математическое описание движения материальной точки (м.т.) и других материальных объектов (м.о.) Основное пространство кинематики – непрерывное многомерное метризуемое топологическое координатное пространство-время (ПВ), размеченное с помощью числового поля. ПВ включает в себя 3-мерное пространство, в котором определены "расстояния", и пространство "время", в которой определены промежутки времени. Обязательный стандартный набор параметров движения – координаты, траектория, координатные скорость и ускорение. Соответственно, для анализа движения м.т. задаются поля траекторий движения r(t, r0), скорости v(t, r) и ускорения w(t, r). Степень детализации параметров движения может быть различной в зависимости от условий задачи.
Рассмотренное выше ПВ в классической механике Ньютона является абсолютным галилеевым ПВ абсолютных 3-мерного пространства и 1-мерного времени. После создания А.Эйнштейном специальной теории относительности (СТО), показывающей, что время и пространство не абсолютны и скорость имеет принципиальное ограничение, кинематика вошла в новый этап развития в рамках релятивистской механики. В пространстве СТО и ОТО дополнительно определяется метрический параметр "интервал", объединяющий в себе и "расстояние", и "время". Метрический интервал объединяет 3-мерное пространство и время в одну общую 4-мерную конструкцию, которые нельзя рассматривать раздельно.
С созданием в 1905 г. А.Эйнштейном общей теории относительности (ОТО) само ПВ, ранее принимавшееся как плоское евклидово пространство, превратилось в (псевдо)риманово пространство-время. Возможность использования риманова пространства в качестве модели ПВ имелось и ранее, но ее использование в принципе ограничивалось только вложенными в объемлющее евклидово плоское ПВ гиперповерхности. С принятием ОТО это ограничение снялось само собой, т.к. используемое в ОТО псевдориманово пространство превращало ПВ ОТО в общем случае в произвольное топологическое не плоское 4-мерное метрическое ПВ.
И все это – только кинематика. Куча определений (выделены жирным) – и все требуют своего определения. То ли еще будет. И по каждой из них написаны книги, учебники, монографии и диссертации на научные звания. Кто-то за это ругает физиков (заодно и математиков, дающих свой инструмент для них), а кто-то жить не может без них. Не претендуя на охват всего, начну с
Понятие материального объекта
Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки. Определимся, что такое материальная точка (м.т.), система материальных точек (с.м.т.), сплошная среда (далее "с.с."), твердое тело (т.т.) и вообще материальный объект (далее "м.о.").
Математически материальность пространства (или ее области) описывается функцией плотности, имеющей смысл "количества материального (м.т. или чего-то еще) в единице физического пространства". Мощность этого материального в любой области пространства может быть конечной, счетной и континуальной и в принципе более чем континуальной.
М.т. и состоящие из них с.м.т., и с.с., и т.т., и м.о. - все это, конечно, идеализированные физические материальные объекты (м.о.). М.т. – наиболее элементарная из них. Физически м.т. – это материальное тело или другой физический объект, размерами которого и внутренней структурой можно пренебречь при описании его движения. При определении координатной системы каждая м.т. получает определенные значения координат, а м.о - координатную область, в которой она находится. С точки зрения математического описания, м.т. – это выделенная точка геометрического пространства, которому приписаны материальные свойства, и она обладает свойством неделимости.
С.м.т. – это несколько м.т. Материальные точки из с.м.т. можно нумеровать (индексировать).
С.с. – это уже область геометрического пространства, где каждой ее "континуальной" точке приписываются материальные и кинематические свойства, и она обладает предельными свойствами "плотности". Наиболее известными параметрами с.с. являются газ, жидкость и твердое тело (т.т.) Каждая точка с.с. может иметь свои кинематические параметры движения, при этом форма ограниченной с.с. меняется как внешне, так и внутренне. Т.к. кинематика не изучает материальную "плотность", то под плотностью можно было бы понимать кинематическую "плотность" составляющих ее кинематических м.т. Но в силу "континуальности" понятия "сплошная", такое понимание должно быть исключено. Поэтому газ и жидкость исключаем из рассмотрения. Но т.т. можно оставить. В отличие от с.с., т.т. – это та же с.с., но она не может изменять своей формы, как внешней, так и внутренней. И ее положение вполне можно определить через кинематические параметры максимум не более четырех принадлежащих ей точек.
И вообще, с математической точки зрения м.о. - это особые выделенные структурированные объекты пространства. Их взаимосвязь с самим ПВ, в котором они находятся, может быть различным. Они могут быть как структурной частью ПВ как топологического, так и вложениями в нее как отдельных "вкладываемых" объектов. На них в некотором смысле нарушается однородность и изотропность пространства, эти точки и области пространства отличаются от других, не материальных, областей.
1.2 Чем занимается кинематика
Каждая м.т. характеризуется своим определенным набором скалярных параметров – масса, электрический заряд. Материальная точка изотропна. В модели материальной точки не рассматриваются не изотропные структурные характеристики частиц: момент инерции, дипольный момент, собственный момент, спин и др. Но эти параметры не являются предметом рассмотрения кинематики. Определение кинематики со всеми (ой ли?) было дано выше. Поэтому коротко: Кинема́тика м.т. — раздел механики, изучающий математическое описание движения м.т. И единственные параметры м.о., применяемые для описания его движения – это координаты, траектория, координатные скорость и ускорение. Соответственно, для анализа движения м.т. задаются поля траекторий движения r(t, r₀), скорости v(t, r), ускорения w(t, r).
Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение. Область определения кинематики – описание траектории движения материи, в отношении которых можно определить понятия координата, скорость, ускорение, не обязательно в метризованном пространстве.
В метризованном пространстве появляются понятия вектора, тензора, скалярного и векторного произведения, внешнее и внутреннее (свертка) произведения векторов и тензоров, модуль вектора. Напомню, метрика в пространстве-времени определяет "расстояния". Появляются дополнительные понятия, связанные с метрикой – прямой, окружности, равномерности, параллельности и перпендикулярности. А также СО (с.о.) –системы отсчета. Можно включить и понятие ИСО – но оно слишком материализует с.о., вводя в нее понятие "инерционности". А в кинематике этого не должно быть. Появляются понятия эталона и процесса измерения, длины и продолжительности, ортонормированности/искривленности применяемой системы координат. В связи с этими понятиями появляются дополнительные задачи, возлагаемые на кинематику.
Основными реальными пространствами, применяемыми в кинематике, являются галилеево пространство и пространство Минковского, представляющие собой композицию 3-мерного пространства и 1-мерного времени. А также 4-мерное (4=3+1) риманово метрическое пространство произвольной топологии.
Задачи кинематики очень похожи на геометрические, но ее отличие заключается в существовании "офизичивающего" его параметра "время", и именно через нее определяется "движение", в отличие от геометрии. Каких либо ограничений на характер движения м.т. в пространстве, параметризацию и метрические соотношения этого пространства нет. Причина этого в том, что в кинематике нет законов движения, а есть только само движение:
r ⁱ = r ⁱ(t): i ≤ {1..3}.
Ограничения появляются при наложении определенных условий на это движение. Эти ограничения определяются геометрией траектории – например, по прямой или по окружности, равномерно или неравномерно, прямолинейно или не прямолинейно, и топологией пространства движения - например, по поверхности сферы, цилиндра, окружности.
Задача кинематики в метризованном пространстве определяется метрическими условиями. Самые простые условия – метрические условия равномерного или равноускоренного движения по прямой или окружности в галилеевом или псевдоевклидом ортонормированном пространствах. Или движение во вращающейся с.о. В римановом пространстве в общем случае можно поставить вопрос о движении только по геодезической прямой. Любое другое движение является специфическим, если риманово пространство не плоское.
Метрические условия появляются в любой задаче, в которой траектория движения параметризована каким-либо способом: даже 3-мерное движение, параметризованное координатой "время" t, уже является метризацией. Но ее метричность очень ограничена ее "вырожденностью".
В общем случае, если нет необходимости определять свойства типа "расстояния", "параллельность" и "перпендикулярность", то нет необходимости определять и метрику.
Продолжение следует.
___________________________________________________________________________________
Мои странички на Дзен: ВАЛЕРИЙ ТИМИН.
Рекомендую: Блокнот математика, Другое измерение.
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Если хотите узнать, что обозначает слово или слово.сочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Прошу у моих читателей извинения - мои статьи – это мои мысли – а они, как известно, не могут быть истиной в последней инстанции.