MUST – ты должен. Тот самый случай, когда ты прям должен, обязан и никак тебе по-другому нельзя. Это такая жесткая повелительная форма. You must do it – ты должен (обязан) сделать это.
May – используем когда хотим спросить разрешение. Например: may I come in? – Могу я войти? Такая вежливая форма, другими словами «могу ли я». Если ученик хочет выйти в туалет на уроке – тоже may. В общем хочет спросить «разрешите ли мне», то используем may.
Have to – должен, но не обязан) Например, ходить на работу. Именно have с частицей to. После других модальных глаголов частицу to не ставим. Have to – это цельная конструкция, считай его одним словом и не отделяй, когда используешь в понятии «должен». You have to study – ты должен учиться. Не путай с глаголом «have – иметь». Да, они отличаются только частицей to, но у одного значение «должен, а у другого «иметь».
Can – могу. I can swimm- я могу плавать. Либо даешь разрешение «you can take it» - можешь взять это. Похоже на «you are allowed» - тебе позволено. Can употребляется часто, повсеместно. Многие заменяют им MAY. Любое «Я могу», «ты можешь» подразумевает CAN.
Should – должен (следовало бы). You should learn English – тебе следует изучать английский. Дает более рекомендательный характер.
Shall – разрешишь, позволишь. Используется очень редко. Пример: “Shall I help you?” – мне помочь тебе (другими словами «позволишь себе помочь?)
Need – необходимо. Пример «I need go» - мне надо идти (я вынужден). Употребляется также без частицы to , как и другие модальные глаголы. Существует еще need как обычный глагол и тогда мы скажем с частицей to (I need to go – я должен идти). Чаще употребляется как обычный глагол.