Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжаем цикл бесед об удивительных числах, поэтому поговорим о числах Мерсенна, названных в честь французского богослова 17 века и, по совместительству, математика Марена Мерсенна. Посмотрим подробнее. Поехали!
Числа Мерсенна - двуликие Янусы
Числа Мерсенна имеют очень простой вид, что очень сильно контрастирует со сложностями, которые они вызывают у математиков всего мира уже сотни лет:
Первые числа этой последовательности:
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16 383 ...
Удивительное в том, что числа Мерсенна очень тесно связаны с простыми числами. Во-первых, они достаточно часто попадаются в классической последовательности Мерсенна: 3,7,31,127,8191,131071, 524287 и т.д.
Мои читатели знают, что поиск всё бОльших и бОльших простых чисел походит на "золотую лихорадку".
А если возвести в простую степень ?
Но еще более удивительным является тот факт, что, если показатель степени n выбирать простым, то итоговое выражение всегда также будет простым числом! Например, возьмем просто число 127:
2^127 - 1 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 - и это громадное число тоже простое!
Конечно, математики продвинулись невообразимо далеко за пределы нашего сознания: самым большим из известных чисел Мерсенна является чисто 2^82589933 - 1, найденное в 2018 году с помощью проекта распределенных вычислений GIMPS.
Кстати, за нахождение числа с n = 37156667 была получена премия в 100000 долларов, т.к. она была обещана тем, кто найдет простое число, состоящее более чем из 10 млн. знаков.
Да и вообще почти все современные рекорды в вычислении простых чисел связаны с числами Мерсенна, потому что существует более-менее быстрый алгоритм проверки их на простоту - тест Люка-Лемпера.
А если еще в степень ?
Существуют, впрочем, еще более крутые "двойные числа Мерсенна":
Простых среди них куда меньше: известно лишь о четырех таких числах, соответствующих n = 2,3,5,7.
А если зайти с боку ?
Да, можно и так. Тогда мы получаем специальные числа Каталана-Мерсенна:
Интересно, что первые четыре числа являются простыми, а вот пятое современные компьютеры даже проверить не могут!
Может показаться странным, но до сих пор не доказано, что чисел Мерсенна бесконечное множество!
А еще, как показал Евклид, простые числа Мерсенна удивительным образом через простую формулу связаны с совершенными числами!