Все мы знаем, что четных чисел - бесконечное количество, нечетных чисел - также бесконечное количество. Но всего чисел также бесконечно много. Однако интуитивно понятно, что четных чисел в 2 раза меньше, чем всего чисел. Получается, есть разные размеры бесконечности? А есть ли тогда самая большая бесконечность?
Погодите, только что мы интуитивно разделили бесконечность на число 2. Также интуитивно мы можем сложить две бесконечности: ведь понятно, что бесконечное количество четных чисел + бесконечное число нечетных чисел в сумме даст число всех чисел. Значит, раз мы можем проводить математические операции с бесконечностями, они - это тоже числа? На самом деле, в математике так оно и есть. Разберемся в этом подробнее.
В теории множеств все числа делятся на две категории: ординалы и кардиналы. Кардиналы обозначают количественную характеристику, а ординалы показывают порядок. К примеру, если мы скажем, что у Ивана 5 яблок, то в данном случае 5 - это кардинал. А если мы отдадим Ивану 5-ое яблоко, то 5 - это ординал. В обычной жизни нам не важно, к какому классу принадлежит это число. Такое разделение играет роль именно на бесконечности. אо (читается как "алеф - ноль") обозначает количество элементов в бесконечном множестве чисел, а ω (читается как "омега") - порядковое число последнего элемента в этом множестве. А теперь давайте немного порассуждаем. Если к бесконечному количеству элементов добавим еще один - сколько элементов станет в множестве? Правильно, также бесконечно. Поэтому мощность этого множества (читай, количество элементов в этом множестве) останется равно "алеф - ноль". А вот какой порядковый номер будет у этого числа? Он будет равен ω+1, которое идет после ω, что означает порядковый номер у бесконечного числа. Значит порядковый номер бесконечного числа станет больше, чем бесконечно?
Можно увеличить ставки и взять число с порядковым номером ω*ω. Это число будет идти после ω раз последовательностей с бесконечным количеством элементов! А если пойти дальше, то можно взять и ω^ω (ω в степени ω), и это число будет идти после бесконечного числа бесконечных последовательностей. Казалось бы, давайте будем продолжать в этом духе и сделаем ω^(ω^ω), ω^(ω^(ω^ω)), и так далее будем выстраивать "башню" из степеней над ω. Но в какой-то момент мы придем к бесконечной "башне", прибавляя к которой новый элемент, не будем получать ничего нового, так как уже достигли бесконечности.
Это так называемая "неподвижная точка" в математике, то есть, любые операции дальше нас не приводят ни к чему новому. Бесконечную башню из степеней также называют малым ординалом Кантора и обозначают ε₀ (читается как эпсилон - ноль). Но и это не самое большое число, ведь таких больших чисел в математике еще очень много. Для чего они нужны? Эти числа часто используются математикам для доказательств различных теорем.
В следующей статье мы поговорим и о других таких удивительных числах, а также рассмотрим числа, на которых ломается вся математика.
