Блок - это не только великий поэт, но и важная часть механизмов, используемых повсеместно. Сегодня мы рассмотрим неподвижный блок. Это колесо с желобом, в котором находится нить, и к ее концам приложены разные силы. Колесо может вращаться вокруг неподвижной оси, поэтому блок назвали неподвижным.
Блок работает за счет силы натяжения нити. Обычно при решении школьных задач на блоки предполагается, что сила натяжения нити одинакова с разных сторон. Однако почему так получается, остается загадкой. Сегодня тайна будет раскрыта - вы узнаете, зачем нужна невесомость и нерастяжимость нити, почему важно, что блок невесом. Будет много формул, некоторые из которых выходят за пределы школьной физики.
Рассмотрим систему тел: два груза массами m1 и m2, блок массой М и три кусочка нити - левый, ближе к первому грузу, правый, ближе ко второму грузу. Массы кусочков нити обозначены как дельта эм1 и дельта эм 2. Центральный кусок нити, лежащий на блоке, в данном случае не рассматривается, он будет лежать симметрично и неподвижно. На каждое тело будут действовать силы со стороны других тел. Движение тел подчиняется второму закону Ньютона, а связь сил, действующих на соседние тела - третьему закону Ньютона. По умолчанию буду брать проекцию на вертикальную ось y, направленную вниз. Итак, вот формулы!
Для каждого тела системы я записала второй закон Ньютона. Сила натяжения нити обозначена буквой T, сила сцепления нити с блоком Fc. F1 и F2 - это внешние силы, действующие на грузы, например, сила тяжести. Для блока поступательного движения нет, второй закон Ньютона в простом варианте там бесполезен, и применяется его следствие - основное уравнение вращательного движения (6), выходящее за пределы школьной программы. В этом уравнении J - момент инерции блока, пропорциональный его массе, эпсилон - угловое ускорение, R - радиус.
Страшно, правда? Видите, как берегут нас школьные учителя!
И это я еще не учитывала трение в оси блока и проскальзывание нити!
Этих уравнений маловато будет. Надо еще воспользоваться третьим законом Ньютона, поскольку в системе есть взаимодействующие тела.
Итак, у нас получается 10 уравнений и 12 неизвестных (внешние силы, массы и радиус считаем известными). Не хватает двух уравнений. Законы Ньютона мы уже задействовали, нужны еще уравнения кинематической связи. Это уравнения, описывающие связь между характеристиками движения тел. И вот тут можно задействовать условие нерастяжимости нити и условие отсутствия проскальзывания нити.
Таким образом, 12 уравнений с 12 неизвестными, решить в принципе можно. Но сложно, если еще учесть, что в процессе движения масса кусочков нити будет меняться. Это задачка, конечно, не для школьника, и даже младшекурснику будет трудно разобраться.
Упрощаем!
Положим массы кусочков нити равными нулю, это можно сделать, если масса нити намного меньше массы грузов и блока, и подставим в уравнения (1-6) всё, что возможно из уравнений (6-12). Уравнение 5 вообще можно выкинуть, оно нам ничего не дает.
Получается, что уравнения для кусочков нити значительно упрощаются - для невесомых кусочков натяжение снизу и сверху будет одинаковым (не тратятся силы на разгон нити, сила тяжести не влияет). Тогда можно оставить всего три уравнения - для двух грузов и блока:
Красота! Такая система уравнений легко решается первокурсником на курсе механики, после того, как пройдено основное уравнение динамики вращательного движения.
Еще проще
В школе динамику вращательного движения не проходят, и в задаче о блоке пренебрегают массой самого блока. Значит его момент инерции равен нулю, и из третьего уравнения на предыдущем рисунке получается, что силы натяжения нити T1 и T2 будут одинаковы. Тогда рисуют такую картинку:
Да, вот какая получается штука - равенство сил натяжения нити вовсе не простой очевидный факт, а целая теорема, я называю ее T-орема. Для ее доказательства мы задействовали ряд предположений - о нерастяжимости нити, о невесомости нити и блока. Только в этом случае задачка решается в две строчки, а в остальном...
Надеюсь, вы прониклись уважением к такой простой системе, как неподвижный блок, и вместе со мной порадовались тому, что в школе этого всего не разбирают.
Продолжение темы блока - блок с трением в оси.
Спасибо всем, кто дочитал до конца! Пишите свои вопросы и замечания в комментариях, ставьте лайки, подписывайтесь на канал.