Про гравитационное поле я писал в предыдущей статье. Здесь продолжу с т.з. соответствия закона взаимодействия материальной точки (м.т.) с гравитационным полем принципу относительности. Принцип относительности Галилея гласит, что взаимодействие материальных объектов (м.о.) как между собой, так и с гравитационным полем не может зависеть от их состояния движения. С т.з. второго закона Ньютона, ускорение м.т. действительно не зависит от его скорости:
F = mΔv/Δt → F' = mΔv'/Δt = mΔ(v + v₀)/Δt = mΔv/Δt + 0 = F. (1)
(стрелка - это знак логического следствия, знак Δ - знак бесконечно малого изменения функции между двумя точками, или дифференциала в высшей математике). Здесь v₀ - скорость новой инерциальной системы отсчета. Запишем силу взаимодействия Fⁱ м.т. с гравитационным полем и следствие из нее (F'ⁱ):
Fⁱ = -m∂φ(t,rⁱ)/∂rⁱ → F'ⁱ = -m∂φ'(t,r'ⁱ)/∂r'ⁱ = Fⁱ. (2)
(знак ∂ - знак бесконечно малого изменения функции вдоль определенной координатной оси, или частного дифференциала в высшей математике)
Как видно, принцип соответствия соблюдается: сила не зависит от состояния движения. Работа E, произведенная полем над м.о., равна
ΔE = Fⁱ*Δrⁱ = -m ∂φ/∂rⁱ*Δrⁱ. (3)
Обратите внимание: гравитационное поле здесь присутствует в скалярной форме. Следующая форма поля - векторная, а гравитационное поле в представленном варианте явно не является векторным: она не меняется при преобразованиях координат пространства и времени.
Посмотрим с другой стороны - со стороны энергии. При движении в потенциальном поле изменяется энергия м.о. Изменение кинетической энергии (соответствующая работе поля) K м.о. равно
ΔK = -m(φ₂ - φ₁) = -mΔφ/Δt*dt = m(∂φ/∂t*Δt - ∂φ/∂rⁱ*Δrⁱ). (4)
Как видно, dE ≠ dK, что противоречит закону сохранения энергии, и эта разница равна величине изменения поля в текущей точке за время dt:
Δ = ΔE - ΔK = -m∂φ/∂t*Δt.
Разница точно равна "динамическому" изменению поля в точке нахождения м.о.
Но закон сохранения энергии и его взаимоперехода из одной формы в другую не может быть нарушен. Поэтому для гравитационного взаимодействия существует принцип, что в определение гравитационнополя поля φ(t,rⁱ) время t не может входить явно. Для взаимодействия двух и более м.о. это означает, что гравитационный потенциал зависит только от их взаимного расположения, т.е. от расстояний между ними. Для одного м.о. это означает, что поле должно быть стационарным.
Для двух м.т. 1 и 2 эта зависимость φ от расстояния |r₂ⁱ - r₁ⁱ| будет следующей:
φ(t,rⁱ) = φ(|r₂ⁱ - r₁ⁱ|). (5)
Ну а как быть в случае одно м.о., существующего во внешнем гравитационном поле? Ведь любое стационарное поле, кроме постоянного, в другом ИСО превращается в не стационарное? Да и в природе не может быть стационарных потенциальных полей - по причине отсутствия взаимного стационарного состояния м.о. (ну кроме как в случае обобщенного гравполя).
В физике для учета подобного положения применяется другой подход, в котором взаимные расстояния учитываются косвенно. Для случая многих (N) м.о. имеется понятие "обобщенных координат". Это означает, что координаты всех м.о. принимаются в расчет не по отдельности в трехмерном пространстве-времени, а обобщенно, как одна обобщенная многомерная координата с 3N измерениями. В таком обобщенном пространстве поле становится "стационарным", не зависящим явно от времени, как бы ни перемещались объекты в пространстве и времени, где учитываются не отдельные потенциальные энергии каждого м.о., а одного(!) обобщенного(!) м.о.(!), объединяющего все м.о. в одну единственную с одной общей обобщенной координатой. На практике это дополнительно упрощает и само уравнение движения многих м.о.
Но этот подход не помогает в самом простом случае расчета движения одного м.о. в произвольном не обязательно стационарном гравитационном поле. Здесь придется пользоваться формулой (2) непосредственно или привести гравитационное поле к стационарному случаю. А это говорит о том, что теория гравитационного поля в этой "скалярной" форме не является непротиворечивой. Имеется необходимость ее модификации с тем, чтобы исключить эти "неудобства". И эта модификация имеет векторный характер. Пример такого поля - электромагнитное векторное потенциальное поле.
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!