На удивление, простые числа - один из самых неизученных объектов математики (загадки простых чисел). Но на такой вопрос, как конечно или бесконечно количество простых чисел, мы без труда сможем найти ответ. Итак, давайте приступим!
Доказательство основывается на предположении, что простых чисел конечное число (т.е. доказательство методом от противного). Итак, предположим, что простых чисел конечное количество. Пусть эти простые числа равны p1, p2, p3, ... pn (1, 2, 3,... n - индексы). Теперь перемножим все эти числа и прибавим к получившемуся произведению 1. Получим p1*p2*p3...*pn + 1. Это число, очевидно, больше любого из p1, p2, ... pn. Согласно основной теореме арифметики его можно представить как произведение некоторых простых чисел. Итак, получаем, что наше число делится на какое-то из чисел p1, p2, ... pn (обозначим это число как q). Но число p1*p2*p3...*pn также делится на q. А значит, и их разность (т.е. 1) делится на q. Стало быть, 1 делится на q. Но q больше, чем 1. Мы пришли в тупик. Значит, предположение о том, что простых чисел конечное количество, неверно. Ура! Победа!
Доказанный факт называется теорема Евклида (именно он её доказал).
Конечно, этот значимый факт имеет далеко не единственное доказательство. Такие известные математики, как Леонард Эйлер, Пол Эрдёш, Гилель Фюрстенберг предложили свои доказательства. И это далеко не весь список учёных, доказавших столь знаменитое утверждение.
Кстати, этот факт можно усилить. Постулат Бертрана гласит, что если взять любое натуральное число n, большее единицы, то среди чисел от n до 2n найдётся простое. Сам Бертран смог доказать это утверждение лишь для всех n < 3000001. Позже несколько математиков таки смогли "добить" доказательство этого утверждения для всех натуральных n.
Итак, мы убедились в том, что простых чисел бесконечно много.
Не забывайте подписываться на канал, ставить лайк и писать в комментарии идеи для следующих статей. До встречи!