Сегодня мы обсудим одно очень важное свойство биссектрисы в треугольнике. А именно:
Биссектриса делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
Доказательство
Через точку A проведём прямую, параллельную стороне BC. Пусть она пересечёт прямую BL в точке P.
Тогда, в силу параллельности прямых AP и BC, ∠PBC = ∠ BPA. Но, поскольку BP - биссектриса, ∠ABP = ∠ PBC = ∠ BPA. Отсюда следует, что треугольник PAB - равнобедренный (AB = AP). Кроме того, треугольники ALP и CLB подобны по двум углам. Значит, AL/LC = AP/BC. Учитывая, что AP = AB, получаем, AL/LC = AB/BC. Победа!
И, напоследок, предлагаем читателю решить задачу!
Биссектриса, проведённая из вершины B треугольника ABC, делит сторону AC на отрезки, равные 28 и 12.
Найдите периметр треугольника ABC, если известно, что AB – AC = 18. (геометрический рисунок прикреплять не будем, он аналогичен вышеприведённому).
Решение:
По свойству биссектрисы треугольника стороны и пропорциональны 28 и 12. Поскольку 28 – 12 = 16, то коэффициент пропорциональности равен 9/8. Следовательно, периметр равен (9/8 + 1)(28 + 12) = 85.
Взято из problems.ru
Не забывайте подписываться на канал, ставить лайк и писать в комментарии идеи для статей!