В №19 ЕГЭ по математике профильного уровня в пункте а), как правило, достаточно привести пример. Как получился этот пример эксперта не волнует, но на этапе обучения полезно останавливаться на поиске примера и показывать эффективные методы поиска.
№19 (ЕГЭ 2020, Москва)
На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:
1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
а) Могла ли сумма равняться 132, если n = 60?
Ответ: да, например, "11" взять 8 раз и "1" взять 44 раза.
А теперь поговорим о том, как можно было найти этот вариант решения.
Довольно сразу становится понятным, что число 111 брать не стоит, т.к. на изначальное количество единиц (а их должно быть 60) таким образом не выйти: 132-111=21, даже если это будет двадцать одна единица, то всего единиц будет 3+21=24.
Тогда оценим, сколько "11" возможно: 132:11 = 12 штук. Но в этом случае n = 12 * 2= 24 (шт). Далее многие учащиеся рассказывали, как они постепенно уменьшали количество чисел "11", увеличивая при этом количество "1".
Однако, можно было сократить поиск, применив метод дихотомии (метод двоичного поиска).
Вспомним детскую игру: "Я угадаю число от 1 до 100 не более, чем за 7 вопросов, если ты будешь говорить больше твоё число, чем то, что я назвал или меньше". Итак, я называю 50, но твоё число меньше, о чём ты мне и сообщаешь. Я говорю - 25, а ты утверждаешь, что твоё число больше. Тогда, может быть, это число 37? Нет? Больше? 43? Меньше? 40? Больше? 42? Меньше? Тогда это 41!
Метод дихотомии заключается в том, что всякий раз отрезок для поиска сокращается в два раза.
Поступим аналогично. Будем искать необходимое количество чисел "11" от 1 до 12.
Допустим, это число 6 (т.е. "11" берём 6 раз). Тогда единиц на это уйдёт 2* 6 шт = 12 шт., а оставшиеся 132 - 11 * 6 = 66 единиц, что слишком много (n = 60).
Тогда возьмем 9 штук чисел "11". Итак, 9*2= 18 шт. единиц, а оставшиеся 132 - 11 * 9 =33 единицы. Итого: 18 + 33 = 51 < 60
Дальше можно взять 7 или 8. Если взяли 8, то вам сразу же повезло: 8*2 = 16 единиц, 132 - 11 * 8 =44 единицы. Итого: 16 + 44 = 60 - то, что надо!
Но если взяли только 7 штук чисел "11", то 7 * 2 = 14 единиц, 132 - 11 * 7 = 55 единиц. Итого: 14 + 55 = 69 >60, значит, берём 8 штук чисел "11" и делаем проверку:
11*8шт + 1 * 44шт = 132 и n = 8*2+44 = 60
Надеюсь, материал был полезен! Подписывайтесь на мой канал, чтобы не пропустить новые статьи и видео!