В 1963 году продюсер Стефан Хатош и телеведущий Монти Холл выпустили на просторы американского телевидения шоу Let's Make a Deal
Один из эпизодов шоу заключался в следующем:
Перед игроком три совершенно одинаковых двери, лишь за одной из которых находится ценный приз (например, автомобиль). За остальными двумя дверьми находится, к примеру, козёл (или просто ничего).
Ведущему известно, что находится за каждой дверью, а игроку, очевидно, нет. Последнему предлагается выбрать одну из дверей, не открывая ее. После этого ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей, и всегда за этой дверью оказывается козёл.
Далее, игроку предлагается поменять свой выбор, и после окончательного решения игрока, ведущий открывает двери и выдает приз. Интуиция подсказывает, что смена двери не принесет никакой выгоды, поскольку вначале есть 3 двери - вероятность выиграть автомобиль 1/3. Затем, есть 2 двери, за одной козел, за другой автомобиль - вероятность выиграть 1/2. То есть, ровно 50%.
В этом и заключается парадокс Монти Холла (который в строгом смысле не является парадоксом) - интуитивно кажется, что смена двери ничего не дает, но теория вероятностей говорит об обратном. Сейчас я тебе это покажу.
Напомню, что мы предположили, что игрок выбрал дверь с номером 1. Открыв её, мы увидим там автомобиль с вероятностью 1/3, а если откроем сразу две другие двери, то с вероятностью 2/3 за одной из них окажется автомобиль.
До открытия двери с козлом, мы знали что за какой-то из двух дверей (№2 или №3) с вероятностью 2/3 находится автомобиль. Теперь же одну из них открыли, но предыдущая вероятность так же остается верной, только теперь мы знаем за какой именно из них с вероятностью 2/3 находится автомобиль - за дверью с номером 3.
Со строго математической точки зрения, это доказывается в пару действий с использованием теоремы Байеса, более известной под названием "Формула Байеса". Для более простого и убедительного объяснения, разберем задачу полностью, составив таблицу всевозможных исходов.
Отсюда видно, что если мы используем стратегию смены выбора, то проиграем мы лишь в том случае, когда за выбранной на первом шаге дверью был автомобиль. А для одной двери из трех, очевидно, вероятность того, что за ней автомобиль 1/3. Значит при использовании стратегии смены выбора, мы выигрываем с вероятностью 2/3.
Сегодня ты узнал об очередном случае, когда разница между математикой и интуицией довольно существенна. Подписывайся на мой канал, впереди много интересного. А также мне очень важен каждый комментарий - расскажи, о чем бы ты хотел почитать в следующий раз? О чем-то более сложном, или наоборот? Может я объясняю слишком "на пальцах", и ты готов к более "строгим обоснованиям"?
P.S. Интересный факт - данный парадокс упоминался в одной из сцен фильма "Двадцать одно".