Привет, дорогой читатель, желающий срочно узнать чего-нибудь нового и интересного!
Представь, что ты устроился на новенькую работу ближе к Новому Году и у вас намечается корпоративный праздник. Допустим, ваша компания небольшая, и на праздник пришло всего 20-25 человек, для определенности пусть будет 23 сотрудника, включая тебя.
Как думаешь, какова вероятность того, что найдется хотя бы пара сотрудников, у которых будет день рождения в один и тот же день? (год может быть разным)
Что если я скажу тебе, что вероятность этого будет более 50%?
На первый взгляд звучит удивительно, ведь в году целых 365 дней, а, например, в этом году - 366.
Сейчас математика расставит все по местам.
Рассчитаем сначала вероятность P(n) того, что в группе из n человек, дни рождения у всех будут различными. Возьмем первого сотрудника и выберем ему какой-нибудь день рождения, у нас есть целых 365 вариантов, поэтому пока что все мирно и хорошо, сотрудник только один - можем выбрать 365 вариантов из 365. Для второго же остается уже 364 варианта из 365, таких, чтобы дни рождения не совпали. То есть, для второго сотрудника вероятность выбрать ему не совпадающий с первым день рождения (при выборе случайного дня рождения второму сотруднику) равна 364/365.
Для третьего сотрудника уже 363 из 365 вариантов выбора "безопасного" для него дня рождения, то есть вероятность, что его день рождения не совпадет с предыдущими двумя, если мы выберем ему случайный день, равна 363/365.
По аналогии получаем для n-го сотрудника: вероятность того, что его день рождения не совпадет ни с чьим днем рождения из предыдущих n-1 сотрудников равна (365-(n-1))/365
Поскольку дни рождения сотрудников независимы друг от друга, то общую вероятность мы можем получить произведением вероятностей для каждого из сотрудников.
Итоговая вероятность того, что дни рождения не совпадут, будет равняться P(n) = (365/365)*(364/365)*(363/365)*...*((365-(n-1))/365)
И теперь переходим к последнему шагу: вероятность обратного события (то есть того, что хотя бы у двух сотрудников совпадут дни рождения) равна 1 - P(n).
Для случая n = 23 получим, что вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух сотрудников равна:
1 - P(23) = 1 - 0.4927 = 0.5073, то есть примерно 50.7%
Для 30 сотрудников вероятность будет уже 70%, а для 50 - уже целых 97%
Никакой магии, чистая математика! Данный результат, описанный здесь практически шуточно, применяется в криптографии и помогает атаковать некоторые криптографические примитивы, о которых я расскажу тебе в дальнейшем.
Подписывайся, если тебе понравилась эта небольшая статья - впереди много интересного!