Теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.
Есть в математике такой раздел – в наших книжках называется непонятно и запутанно: «Особенности дифференцируемых отображений», а на Западе красиво и эффектно – «Теория катастроф». Что это такое?
Есть старинная восточная притча. Жил да был жадный торговец. Поехал он на базар купить соломы и взял с собой одного-единственного верблюда. Купил – и давай грузить тюки с соломой верблюду на спину! Грузит, грузит, и всё ему мало. «Смотри, – говорят ему, – как бы верблюд твой не умер от такой тяжести, имей совесть!» – «Ничего, – отвечает жадина, – выдержит!» И продолжает грузить. Верблюд уже еле-еле на ногах стоит, а купец только руки потирает, подсчитывает будущие барыши. Наконец, тронулся верблюд с места, а жадина не выдержал: «Ну ещё чуть-чуть!» – и положил на спину верблюду всего-то одну соломинку. Ноги у верблюда подкосились, он упал и умер. Остался купец ни с чем – не на себе же ему солому везти? А с тех пор люди стали говорить: «Одна соломинка может сломать спину верблюду».
Обычная математика любит изучать такие процессы, которые принято называть «непрерывными», «гладкими». Это означает, что маленькие изменения управляющих параметров приводят к таким же маленьким изменениям итоговых характеристик. Переводим на русский. Если нажать на педаль газа в автомобиле несильно, совсем чуть-чуть, то автомобиль ускорится тоже совсем немножечко.
Движущийся автомобиль – это система.
Педаль – это управляющий параметр.
Нажатие педали – изменение управляющего параметра.
Ускорение автомобиля – итоговая характеристика.
Теория катастроф же изучает совершенно другое – так называемые «особые точки», то есть точки, в которых самые малые изменения входных параметров приводят к резкому и безвозвратному изменению характеристик всей системы. Нажимаешь на педаль «ещё чуть-чуть», а автомобиль взлетает…
Возьмём, например, нашу историю про купца и верблюда. С точки зрения математики, в этой сказке есть одна система (верблюд + груз соломы), есть управляющий параметр (вес соломы, то есть количество соломинок, уложенных верблюду на спину) и есть итоговая характеристика (довезёт верблюд груз или нет).
Допустим, мы начинаем добавлять по одной соломинке (ведь одна соломинка практически ничего не весит, правда?). Тысяча соломинок, десять тысяч, двадцать... Верблюду всё тяжелее, но он стоит на ногах, он способен идти, хоть и медленно... И вдруг в какой-то момент мы добавляем всего лишь ещё одну соломинку – и верблюд падает замертво! Характеристики нашей системы кардинально изменились! И даже если мы начнём разгружать беднягу-верблюда, – ни ему, ни нам это не поможет. Вернуть всё назад уже не выйдет! Вот эта самая «точка невозврата», «точка последней соломинки» и называется в математике вырожденной особой точкой или «точкой катастрофы».
Точка катастрофы
В природе существует множество процессов, которые можно рассматривать как математические катастрофы. Возьмите старую резинку для волос. Она сделана из упругого материала, который (согласно школьной физике) подчиняется простому закону (закону Гука): чем больше мы удлиняем резинку, тем сильнее она нам «сопротивляется», стремится вернуть себе исходную форму. Но что произойдёт, если мы – пускай даже очень медленно и осторожно! – станем удлинять её всё дальше и дальше? В определённый момент её структура изменится, её упругие характеристики исчезнут – и даже если мы отпустим её, исходную форму она уже не примет, а просто повиснет на руках. Всё, резинка испорчена, «растянулась». Ну а если мы потянем её ещё дальше – она и вовсе разорвётся, правильно? Перед нами снова математическая катастрофа: совсем небольшое дополнительное усилие (растягивание резинки) в какой-то момент резко и необратимо меняет свойства объекта.
Само собой, математическая катастрофа может стать причиной самой настоящей катастрофы. Представьте себе летящий самолёт. Его крыло создаёт подъемную силу, которая не даёт самолёту упасть. Однако эта подъемная сила зависит от скорости самолёта. Если пилот начнёт сбрасывать скорость, лететь всё медленнее и медленнее, то в какой-то момент (вот она, «точка катастрофы»!) подъемная сила вдруг резко уменьшится – и самолёт внезапно теряет управляемость, «сваливается в штопор», начинает бесконтрольно падать и в итоге разбивается об землю. Хорошо, если пилот успеет выпрыгнуть с парашютом! Обратите внимание: если самолёт «сваливается», то увеличение скорости само по себе не сможет вернуть ему управляемость, просто так «отыграть назад» у пилота не выйдет.
