Ключевые термины: Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, квантовая геометрия и ее приложения, Петлевая квантовая гравитация
1. Введение
За последние тридцать лет было показано, что черные дыры обладают рядом удивительных свойств. Эти открытия выявили непредвиденные связи между различными областями общей теории относительности, квантовой физики и статистической механики. Это взаимодействие, в свою очередь, привело к ряду глубоких загадок у самых основ физики.
Некоторые из них были решены, в то время как другие продолжают сбивать с толку физиков. Отправной точкой этих увлекательных разработок стало открытие законов механики черных дыр Бардином, Бекенштейном, Картером и Хокингом. Они диктуют поведение черных дыр в равновесии, при малых возмущениях вдали от равновесия и в полностью динамических ситуациях. Хотя они являются следствиями только классической общей теории относительности, они имеют близкое сходство с законами термодинамики. Происхождение этого, казалось бы, странного совпадения лежит в квантовой физике. Для дальнейшего обсуждения см. статьи по квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени и квантовой гравитации.
Основное внимание в этом обзоре уделяется только механике черных дыр. Дискуссия разделена на три части. Во-первых, мы введем понятия горизонтов событий и областей черных дыр и обсудим свойства глобально стационарных черных дыр. Во втором случае мы рассмотрим черные дыры, которые сами находятся в равновесии, но в окружении, которое может зависеть от времени. Наконец, в третьей части мы суммируем то, что известно в полностью динамических сценариях.
Для простоты все многообразия и поля считаются гладкими и, если не указано иное, пространство-время считается 4-мерным, с метрикой сигнатуры -,+,+,+, а космологическая постоянная принимается равной нулю. Стрелка под индексом пространства-времени обозначает принадлежность этого индекса к горизонту.
2. Глобальное равновесие
Чтобы уловить интуитивное представление о том, что черная дыра - это область, из которой сигналы не могут вырваться в бесконечно удалённую часть пространства-времени, нужно точное определение будущей бесконечности. Стандартный подход заключается в использовании конформной границы Пенроуза J+. Область черных дыр B пространства-времени (M, gab) определяется как B = M\I−(I+), где I− обозначает "хронологическое прошлое". Граница ∂B области черной дыры называется горизонтом событий и обозначается E. Таким образом, E является границей прошлого I+. Из этого следует, что E является нулевой 3-поверхностью, управляемой будущими неисчерпаемыми нулевыми геодезическими без каустики. Если пространство-время глобально гиперболическое, то "момент времени" представлен поверхностью Коши M. Пересечение B с M может иметь несколько непересекающихся областей, каждая из которых представляет черную дыру в этот момент времени. Если M’ является поверхностью Коши для будущего M, то число непересекающихся компонент M ∪ B в причинном будущем M ∪ B должно быть меньше или равно таковым для M ∪ B (см. Hawking & Ellis 1973). Таким образом, черные дыры могут сливаться, но не могут раздваиваться. (Путем обращения времени, т. е. замены I+ на I− и I−на I+, можно определить область белой дыры W. Однако здесь мы остановимся только на черных дырах).
Пространство-время (M, gab) называется стационарным (т. е., независимым от времени), если gab допускает поле Киллинга ta, которое представляет собой асимптотическое временное преобразование. По соглашению, ta равно единице на бесконечности. Поле (М, gab) называется осе-симметричным, если gabдопускает существование поле Киллинга φa, создавая SO(2)-изометрию. По соглашению φa нормируется таким образом, что аффинная длина его интегральных кривых равна 2π. Стационарные пространства-времена с нетривиальными M\I- (I+) представляют собой черные дыры, находящиеся в глобальном равновесии. В теории Эйнштейна-Максвелла в 4 измерениях существует уникальное 3-параметрическое семейство стационарных решений черных дыр, обычно параметризованных массой m, угловым моментом J и электрическим зарядом Q. Это знаменитое семейство решений Керра-Ньюмана. Поэтому в общей теории относительности большое количество работ по черным дырам было сосредоточено на этих решениях и их возмущениях. Семейство Керра-Ньюмана аксиально-симметрично, и, кроме того, его метрика имеет свойство, что 2-плоскости, охватываемые полями Киллинга ta и φa, ортогональны семейству 2-поверхностей. Это свойство называется "ортогональностью t-φ". Заметим, однако, что единственность терпит неудачу в более высоких измерениях, а также в присутствии неабелевых калибровочных полей или колец идеальных жидкостей вокруг черных дыр в 4 измерениях. В математической физике существует значительная литература по новым стационарным решениям черных дыр в теориях Эйнштейна-Янга-Миллса-Хиггса. Они называются «волосатыми» черными дырами. Исследование стационарных решений черных дыр с кольцами получило развитие благодаря недавнему открытию, что этих черных дыр может нарушаться неравенство Керра J ≤ Gm2 между их угловым моментом J и массой m.
Нулевое 3-многообразие K в M называется горизонтом Киллинга, если gab допускает поле Киллинга Ka, которое везде нормально к K. На горизонте Киллинга можно показать, что ускорение Kaпропорционально самому Ka:
Ka∇aKb = kKb (2.1)
Коэффициент пропорциональности k называется поверхностной гравитацией. В следующем разделе мы покажем, что если на K сохраняется слабое энергетическое условие, то k должно быть константой. Заметим, что если мы масштабируем Ka через Ka → cKa, где c – константа; поверхностная гравитация также масштабируется как k → ck. В семействе решений Керра-Ньюмена горизонт событий - это горизонт Киллинга.
В более общем случае, если аксиально-симметричное стационарное пространство-время черной дыры (M, gab) удовлетворяет свойству ортогональности t-φ, ее горизонт событий E является горизонтом Киллинга. Хотя можно представить себе стационарные черные дыры, в которых эти дополнительные условия симметрии не выполняются, эта возможность была проигнорирована в механике черных дыр в стационарном пространстве-времени. Квазилокальные горизонты, рассмотренные ниже, не требуют каких-либо пространственно-временных симметрий. В этих случаях свобода нормализации в Ка фиксируется требованием, чтобы Ка имела вид:
Ka = ta + Ωφa (2.2)
на горизонте, где Ω - постоянная, называемая угловой скоростью горизонта. Результирующий kназывается поверхностной гравитацией черной дыры. Примечательно, что k постоянен для всех таких черных дыр, даже когда их горизонт сильно искажен (т. е. далек от сферической симметрии) либо из-за вращения, либо из-за внешних полей материи. Это аналогично тому факту, что температура термодинамической системы в равновесии постоянна, независимо от внутреннего строения системы. По аналогии с термодинамикой, постоянство k называется нулевым законом механики черных дыр.
Далее рассмотрим бесконечно малое возмущение δ в пределах 3-параметрического семейства Керра-Ньюмана. Простой расчет показывает, что изменения массы m Арновитта-Дезера-Миснера (ADM), углового момента J и суммарного заряда Q пространства-времени и в области A горизонта ограничены соотношением:
где коэффициенты κ, Ω, Φ - параметры черной дыры, Φ = AaKa- электростатический потенциал на горизонте. Последние два члена, ΩδJ и ΦδQ, имеют интерпретацию "работы", необходимой для того, чтобы «раскрутить» черную дыру на величину δJ или увеличить ее заряд на δQ. Поэтому (2.3) имеет поразительное сходство с первым законом термодинамики (δE = TδS + δw), если (как предполагает нулевой закон) k изменяется пропорционально температуре T, и площадь горизонта а аналогична энтропии S. Поэтому, (2.3) и его обобщения, обсуждаемые ниже, называются первым законом механики черных дыр.
В пространстве-времени Керра-Ньюмана единственный вклад в тензор энергии-импульса происходит от электромагнитного поля. Бардин, Картер и Хокинг (1973) рассматривают стационарные черные дыры с веществом, таким как идеальная жидкость и их стационарные возмущения во внешней области δ. Используя уравнения Эйнштейна, они показывают, что форма (2.3) первого закона не изменяется; единственным изменением является добавление некоторых членов, зависящих от материи с правой стороны, которые можно интерпретировать как работу δW, выполненную над всей системой. Другое обобщение было сделано Айером и Вальдом (1994) с использованием Нетеровых токов. Они допускают нестационарные возмущения и, что более важно, отбрасывают ограничение на общую теорию относительности. Вместо этого они рассматривают широкий класс диффеоморфизмов инвариантных лагранжевых плотностей L (gab, Rabcd, ∇aRbcde, . . . , Φ...., ∇aΦ...., . . .), которые зависят от метрики gаb, полей материи Φ....и конечного числа производных тензора Римана и полей материи. В итоге, они ограничиваются случаем, когда k ≠ 0.
В этом случае на максимальном аналитическом расширении пространства-времени поле убийства Ka исчезает на 2-сфере, S0- так называемом бифуркационном горизонте. Тогда (2.3) обобщается на:
Здесь δW снова представляет "условия работы", а Shor задается формулой:
где nab – бинормаль к поверхности So (с учётом соотношения nabnab= −2), и функциональная производная под интегралом определена с учётом того, что тензор Римана является полем, формально независимым от метрики. Для действия Эйнштейна-Гильберта это дает Shor = a/4G и приводит к соотношению (2.3).
Эти результаты поразительны. Тем не менее, лежащие в основе предположения имеют определенные неудовлетворительные аспекты. Во-первых, хотя законы должны относиться только к черным дырам, предполагается, что все пространство-время неподвижно. В термодинамике, напротив, предполагается, что в равновесии находится, только рассматриваемая система, а не вся Вселенная. Во-вторых, в первом законе величины a, Ω, Φ оцениваются на горизонте, а M, J оцениваются на бесконечности и включают вклады от возможных полей материи за пределами черной дыры. Более удовлетворительный закон механики черных дыр включал бы параметры одной только черной дыры. Наконец, понятие горизонта событий чрезвычайно глобально и «телеологично», поскольку оно явно относится к J+. Горизонт событий вполне может развиваться в той самой комнате, где вы сидите сегодня в ожидании гравитационного коллапса в центре нашей галактики, который может произойти через миллиард лет. Эта особенность делает невозможным обобщение первого закона на полностью динамические ситуации и соотнесение изменения площади горизонта событий с потоком энергии и момента импульса, падающего на него. Действительно, можно построить явные примеры динамических черных дыр, в которых горизонт событий Е формируется и растет в плоской части пространства-времени, где физически ничего не происходит. Эти соображения требуют замены Е квазилокальным горизонтом, который приводит к первому закону, включающему только атрибуты горизонта, и который может расти только в ответ на приток энергии. Эти вопросы обсуждаются в следующих двух разделах.
3. Локальное равновесие
Ключевая идея здесь состоит в том, чтобы отбросить требование о том, что пространство-время должно допускать стационарное поле Киллинга, и потребовать только, чтобы внутренняя геометрия горизонта была независимой от времени.
Рассмотрим нулевую 3-поверхность ∆ в пространстве-времени (M, gab) с нормально-ориентированным в будущее полем la. Замена qab: = gab пространственно-временной метрики на ∆ порождает, вырожденную "метрику" ∆ с сигнатурой 0,+,+. Первое условие состоит в том, что она является "независимой от времени", т. е. Llqab = 0 на ∆. Затем, ограничиваясь в пространстве-времени данной поверхностью, определим на ней градиент, как оператор нормальной производной D на ∆. Хотя D и совместим с qab т.е. Daqbc= 0, он не определяется однозначно этим свойством, потому что qab вырождается. Таким образом, D содержит дополнительную информацию, не содержащуюся в qab. Говорят, что пара (qab, D) определяет внутреннюю геометрию нулевой поверхности ∆. Это понятие приводит к естественному представлению о горизонте в локальном равновесии. Пусть ∆ - нулевое, 3-мерное подмногообразие (M, gab) с топологией S×R, где S компактно и не имеет границы.
Определение 1: ∆ называется изолированным горизонтом, если он допускает нулевую нормаль la такую, что:
1) Llqab = 0 и [Ll, D] = 0 на ∆; и
2) Тablb - является причинно-следственным вектором будущего на ∆.
Тогда можно показать, что это нулевое нормальное поле является единственным с точностью до масштабирования относительно положительных констант.
Оба условия являются локальными для ∆. В частности, (M, gab) не требуется быть асимптотически плоским, и «телеологический параметр» отсутствует. Так как ∆ равно нулю, а Llqab = 0, то площадь любого из его поперечных сечений одинакова и обозначается через a∆. Как и следовало ожидать, можно показать, что нет никакого потока гравитационного излучения или материи через ∆. Это отражает идею о том, что сама черная дыра находится в равновесии.
Условие 2) является довольно слабым "энергетическим условием", которое удовлетворяется всеми материальными полями, обычно рассматриваемыми в классической общей теории относительности. Нетривиальным условием является 1). Оно извлекает из понятия горизонта Киллинга только "бесконечно малую часть", которая относится только к внутренней геометрии ∆. В результате каждый горизонт Киллинга K является, в частности, изолированным горизонтом. Однако пространство-время с изолированным горизонтом ∆ может допускать гравитационное излучение и динамические поля материи вдали от ∆. Фактически, как показывает семейство решений Робинсона-Траутмана, гравитационное излучение может даже присутствовать сколь угодно близко к ∆. Из-за этих возможностей существует множество нетривиальных примеров, и переход от горизонтов событий стационарного пространства-времени к изолированным горизонтам представляет собой значительное обобщение механики черных дыр. На самом деле вывод нулевого и первого закона требует несколько более слабых предположений, содержащихся в понятии "слабо изолированного горизонта" (Ashtekar et al 2000, 2001).
Непосредственным следствием требования Ll qab = 0 является то, что существует 1-форма ωa на ∆ такая, что Dalb = ωalb. После определения k на горизонте Киллинга, поверхностная гравитация k(l) на (∆ ,l) определяется как k(l) = ωala. Опять же, при la→ cla мы имеем k(cl) = ckl. Вместе с уравнениями Эйнштейна два условия определения 1 подразумевают, что: Ll ωa = 0 и laD[aωb] = 0.
Тождество Картана, связывающее производную Ли и внешнюю производную, теперь дает:
Из тождества Картана следует, что электростатический потенциал равен Φ(l): = Aalaи является постоянным на горизонте. Это максвелловская аналогия нулевого закона.
В этом случае первый закон выводится с использованием гамильтоновой структуры (Аштекар et al 2000, 2001). Для конкретности предположим, что мы рассматриваем асимптотически плоское пространство-время и единственное калибровочное поле, которое присутствует - электромагнитное. Мы начинаем с ограничения себя геометрией горизонта таким образом, что ∆ допускает вращательное векторное поле ϕa, удовлетворяющее равенству Lϕqab= 0. (На самом деле для механики черных дыр достаточно только предположить, что Lϕεab = 0, где εab – является бесконечно малой площадкой внутренней области на ∆. То же самое относится и к динамическим горизонтам, обсуждаемым в следующем разделе.)
Затем строится фазовое пространство Γ гравитационных и материальных полей, такое, что 1) M допускает внутреннюю границу ∆, которая является изолированным горизонтом; и 2) все поля удовлетворяют асимптотически плоским граничным условиям на бесконечности. Обратите внимание, что геометрия горизонта может изменяться от одной точки фазового пространства к другой; пара (qab, D), индуцированная на ∆ пространственно-временной метрикой, должна удовлетворять только определению 1 и условию Lϕqab = 0.
Начнем с углового момента. Зафиксируем векторное поле φa на M, которое совпадает с фиксированным ϕa на ∆ и является асимптотической вращательной симметрией на бесконечности (заметим, что φa никоим образом не ограничено в объеме).
Производные Ли гравитационного и вещественного полей вдоль φa определяют векторное поле X(φ) на Γ. Можно показать, что это бесконечно малое каноническое преобразование, т. е., удовлетворяет LX(φ) Ω = 0, где Ω-симплектическая структура на Γ. Гамильтониан H(φ), порождающий это каноническое преобразование, задается формулой:
Чтобы определить энергию горизонта, нужно ввести векторное поле ta "временной трансляции".
Это и есть первый закон. Таким образом, рассмотренный выше подход дает более глубокое понимание происхождения первого закона: это необходимое и достаточное условие для того, чтобы эволюция, порожденная ta, была гамильтоновой. Выражение (3.8) является истинным ограничением на выбор функций фазового пространства c и Ω, т. е. ограничений на ∆ эволюционных полей ta. Легко проверить, что M допускает множество таких векторных полей. Учитывая что гамильтониан H(t), порождающий эволюцию времени вдоль ta, принимает вид:
получим повторное применение интерпретации E (∆t) как энергии горизонта.
В общем, существует множество первых законов, по одному для каждого векторного поля та, эволюция вдоль которого сохраняет симплектическую структуру. В теории Эйнштейна-Максвелла, учитывая любую точку фазового пространства, можно выбрать каноническое граничное значение, чтобы использовать теорему единственности. E∆(to)тогда называется массой горизонта и обозначается просто m∆. В семействе Керра-Ньюмана H(to) исчезает и m∆ совпадает с массой ADM m∞. Аналогично, если φa выбрано в качестве глобального вращательного поля Киллинга, J∆(φ) равно J∞(φ). Однако в более общем пространстве-времени, где существует поле материи или гравитационное излучение вне ∆, эти равенства не выполняются; m∆ и J∆представляют собой величины, связанные только с горизонтом, в то время как величины ADM представляют собой общую массу и угловой момент в пространстве-времени, включая вклады от полей материи и гравитационного излучения во внешней области. В первом законе (3.8) появляются только члены, связанные с горизонтом.
Когда теорема единственности терпит неудачу, как, например, в теории Эйнштейна-Янга-Миллса-Хиггса, первые законы продолжают держаться, но масса горизонта m∆ становится неоднозначной.
Интересно, что эти неоднозначности можно использовать для связи свойств «волосатых» черных дыр со свойствами соответствующих солитонов.
4. Динамические сценарии
Следовательно, если поперечное сечение S2от E является будущим поперечного сечения S1, мы должны иметь aS2≥ aS1. Таким образом, в любом (т. е. необязательно бесконечно малом) динамическом процессе изменение ∆a в области горизонта всегда неотрицательно. Этот результат известен как второй закон механики черных дыр. Как и в первом законе, аналог энтропии - это область горизонта.
Возникает соблазн спросить, существует ли локальный физический процесс, непосредственно ответственный за рост площади? Для горизонтов событий ответ отрицательный, так как они могут расти в плоском пространстве-времени. Однако можно ввести квазилокальные горизонты и в динамических случаях и получить желаемый результат (Ashtekar & Krishnan 2003).
Эти конструкции сильно мотивированы более ранними идеями, введенными Хейвордом (1994).
Определение 2: 3-мерное пространственно-подобное подмногообразие H (M, gab) называется динамическим горизонтом, если оно допускает слоение компактными 2-многообразиями S (без границы), такими что:
1) расширение θ(l)одного (направленного в будущее) нулевого нормального поля la в S исчезает, а расширение другого (направленного в будущее) нулевого нормального поля na отрицательно; и
2) -Тablb - это будущее, указывающее причинно-следственную связь вектора на Н.
Можно показать, что это слоение H уникально и что S является либо 2-сферой, либо, при вырожденных и физически более ограничительных условиях, S- это 2-тор. Каждый лист S является незначительно захваченной поверхностью и называется разрезом H. В отличие от горизонтов событий E, динамические горизонты H локально определены и не отображают никаких телеологических признаков.
В частности, они не могут лежать в плоской части пространства-времени. Динамические горизонты обычно возникают при численном моделировании эволюционирующих черных дыр как мировых трубок видимых горизонтов. Когда черная дыра оседает, H стремится к изолированному горизонту ∆, который плотно обнимает асимптотическую будущую часть горизонта событий.
Однако, во время динамической фазы, Н, как правило, лежит внутри Е.
Два условия в определении 2 сразу же подразумевают, что площадь срезов H монотонно возрастает вдоль "внешнего направления", определяемого проекцией la на H. Кроме того, это изменение оказывается непосредственно связанным с потоком энергии, падающей через H. Пусть R обозначает "функцию радиуса" на H, так что площадь любого разреза S задается aS = 4πR2. Пусть N обозначает норму ∂aR и ∆H, часть H, ограниченную двумя поперечными сечениями S1 и S2. Соответствующая энергия оказывается связанной с векторным полем Nla, где laнормализовано таким образом, что его проекция на H является единичной нормалью rˆa к разрезам S. В общем и физически интересном случае когда S является 2-сферой, уравнения Гаусса и Кодацци (т. е. ограничение) подразумевают:
Первый интеграл справа можно непосредственно интерпретировать как поток через ∆Н материи-энергии (по отношению к вектору поля Nla). Второй член является чисто геометрическим и интерпретируется как поток энергии, переносимый гравитационными волнами через ∆H. Он имеет ряд свойств, которые поддерживают эту интерпретацию. Таким образом, не только второй закон механики черных дыр справедлив для динамического горизонта H, но и "причина" увеличения площади может быть непосредственно связана с физическими процессами, происходящими вблизи H.
Другой естественный вопрос заключается в том, может ли первый закон (3.8) быть обобщен полностью на динамические сценарии, где δ заменяется конечным переходом. И снова ответ утвердительный. Мы изложим идею для случая, когда нет калибровочных полей на H. Как и с изолированными горизонтами, чтобы иметь четко определенное понятие углового момента, предположим, что внутренняя 3-метрика на H допускает вращательное поле Киллинга ϕ.
Тогда угловой момент, связанный с любым разрезом S, задается формулой:
где Kab - внешняя кривизна H в (M, gab) и j(ϕ)интерпретируется как «плотность углового момента». Теперь, в метрике Керра, масса, поверхностная гравитация и угловая скорость может быть однозначно выражена в виде хорошо определенных функций m~(a, J), κ~(a, J) и Ω~(a, J) области горизонта a и углового момента J. Идея состоит в том, чтобы использовать эти выражения для связи массы, поверхностной гравитации и угловой скорости с каждым разрезом H. Тогда неожиданным результатом является то, что разность между массами горизонта, связанными с разрезами S1 и S2, может быть выражена как интеграл локально определенного потока через участок ∆H от H, ограниченный H1 и H2:
Если отрезки S2 и S1разделены только бесконечно малым расстоянием, это выражение сводится точно к стандартному первому закону, включающему бесконечно малые вариации. Следовательно, (4.12) является интегральным обобщением первого закона.
Давайте закончим с общей точки зрения. В целом, переходя от горизонтов событий в стационарных пространствах-временах к изолированным горизонтам, а затем к динамическим горизонтам, мы рассматриваем все более реалистичные ситуации. Во всех трех случаях анализ был расширен, чтобы позволить наличие космологической постоянной Λ. (Единственное существенное изменение состоит в том, что топология разрезов S динамических горизонтов ограничена S2, если Λ > 0, и полностью неограниченна, если Λ < 0.) В первых двух случаях результаты также были расширены до более высоких измерений. Поскольку понятия изолированных и динамических горизонтов не имеют никакого отношения к бесконечности, эти случаи могут быть использованы также в пространственно компактном пространстве-времени. Понятие горизонта событий, напротив, естественным образом не распространяется на эти пространства-времена. С другой стороны, обобщение (2.4) первого закона (2.3) применимо к горизонтам событий стационарного пространства-времени в широком классе теорий, в то время как до сих пор изолированные и динамические случаи горизонта связаны с общей теорией относительности (связанной с материей, удовлетворяющей довольно слабым энергетическим условиям).
С точки зрения математической физики, расширение до более общих теорий является важной открытой проблемой.
References
DeWitt B S and DeWitt C M (eds) (1972) Black holes, (North-Holland, Amsterdam)
Hawking S W and Ellis G F R (1973) Large scale structure of space-time (Cambridge
UP, Cambridge).
Bardeen J W, Carter B and Hawking S W (1973) The four laws of black hole me-
chanics, Commun. Math. Phys. 31 161.
Iyer V and Wald R M (1994) Some Properties of Noether charge and a proposal for
dynamical black hole entropy. Phys. Rev. D50 846-64.
Wald R M (1994) Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Ther-
modynamics (University of Chicago Press) (1994).
Frolov V P and Novikov I D Black hole physics 1998 (Kluwer, Dordrecht).
Ashtekar A, Fairhurst S and Krishnan, B (2000) Isolated Horizons: Hamiltonian
Evolution and the First Law, Phys. Rev. D62 104025; gr-qc/0005083.
Ashtekar A, Beetle C and Lewandowski J (2001) Mechanics of rotating black holes,
Phys. Rev. 64 044016; gr-qc/0103026.
Ashtekar A and Krishnan B (2003) Dynamical horizons and their properties, Phys.
Rev. D68 104030; gr-qc/0308033.
Ashtekar A and Krishnan B (2004) Isolated and dynamical horizons and their appli-
cations, Living Rev. Rel. 10 1–78, gr-qc/0407042.