Производная это скорость изменения какой-то величины или функции.
Например, производной от скорости автомобиля является его ускорение.
В те моменты, когда автомобиль увеличивает скорость, производная скорости больше нуля.
Когда автомобиль снижает скорость, производная скорости меньше нуля.
Когда автомобиль едет с постоянной скоростью, производная скорости равна нулю.
Нарисуем это на графике. Пусть имеется непрерывная функция y=f(x)
Изобразим ее график красной линией.
Нарисуем в точке x=X0 касательную к функции y=f(x)
Сделаем к аргументу X приращение ?x и получим значение x=X1.
Посмотрим на прямоугольный треугольник ABC показанный на рисунке.
dx – это приращение аргумента.
dy -это приращение функции.
Если dx сделать бесконечно малым, то отношение приращения функции к приращению аргумента будет равно производной функции в точке X0.
То есть производная функции f(x)– это другая функция f’(x), значения которой в каждой точке равны отношению приращения функции к приращению аргумента. При условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Математически это записывается так
Заметьте, что треугольник ABC на рисунке является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему катету по определению называется тангенсом угла.
Следовательно. Производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к функции.
На нашем рисунке функция f(x) все время растет. Значит ее производная везде больше нуля.
Скорость роста функции f(x) падает. Значит значение производной уменьшаются.
Примерный вид производной от функции f(x) изображен на рисунке синий линией.