Математика онлайн. Доступно о сложном
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Начало материала об извлечении корней из комплексных чисел здесь.
Во второй части разберем способ, который применяется чаще всего благодаря своей простоте и универсальности.
Однако число, из которого требуется извлечь корень, может быть задано в алгебраической форме.
Для того, чтобы применить рассмотренную в этой статье формулу, его надо перевести в тригонометрическую форму. Именно этот этап вызывает больше всего затруднений.
Извлечение корней из комплексного числа в тригонометрической форме
Сначала вспомним, как комплексное число переводится из алгебраической формы в тригонометрическую:
Теперь переведем в тригонометрическую форму число -1+i.
Вспомним, что косинус принимает отрицательные значения во второй и третьей координатных четвертях, а синус положителен в первой и второй четвертях.
Следовательно, угол (вернее главное значение аргумента) принадлежит второй четверти.
Далее приведем формулу, по которой можно извлекать корни из комплексных чисел в тригонометрической форме. Иногда ее называют второй формулой Муавра.
Корень n-й степени из |z| - «обычный» арифметический корень из действительного числа.
Различные значения корня получаются за счет наличия слагаемого 2πк в аргументах косинуса и синуса.
Индекс корня соответствует значению k.
Именно поэтому нумерацию корней удобнее вести не с первого, а с нулевого.
Подставляем в формулу конкретные значения:
Возьмем вместо k сначала нуль, а потом единицу.
В результате находим оба значения корня.
Второй корень можно немного упростить при помощи формулы приведения.
Однако, если предстоят дальнейшие вычисления (в частности, умножение, деление, возведение в степень), то следует проверить, будет ли после упрощения сохранена тригонометрическая форма.
Если не будет, то упрощать не надо. Теоремы об этих операциях справедливы только для тригонометрической формы.
Ответ готов.
Но при вычислении различными способами у нас получились разные ответы!
Чтобы не осталось сомнений, можно провести дополнительные вычисления и убедиться в том, что мы имеем разные формы записи одних и тех же чисел.
Воспользуемся сначала формулой понижения степени косинуса.
Выбор знака «плюс» при извлечении корня связан с тем, что угол 3π /8 принадлежит первой четверти, где косинус положительный.
Точно так же выражаем синус:
Производим небольшие преобразования и убеждаемся в том, что значения корня, полученные разными способами (здесь и в первой части), совпадают.
Продолжение следует.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Лайфаки для студентов"
О канале