В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин – точка О.
а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.
Решение:
а) Δ ABO= ΔCBO по катету и острому углу (BO – общая сторона, ∠ АВО = ∠ СВО - по условию ) → АВ = СВ и АО = СО;
Δ ADO = ΔCDO по катету и острому углу (DO – общая сторона, ∠ АDО = ∠ СDО - по условию ) → АD = СD и АО = СО;
Т.к. AB = CB и AD = CD, то AB + CD = CB + AD → в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Т.к. АО = СО и АС = 12, то АО = СО = 6
Пусть BO = y, тогда DO = 13 - y
По свойству пересекающихся хорд AO ⋅ CO = BO ⋅ DO:
6 ⋅ 6 = у ⋅ (13-у)
у = 4 или у = 9
Если у = 4, то ВО = 4 и DO = 9
Если у = 9, то BO = 9 и DO = 4
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна S = pr, где p – полупериметр четырехугольника, S – площадь четырехугольника, r – радиус вписанной окружности.
Площадь и полупериметр четырехугольника ABCD через диагонали и угол между ними:
Δ ABO: AB² = AO² + BO² = 6² + 9² = 117 → AB = √117 = 3√13
Δ ADO: AD² = AO² + DO² = 6² + 4² = 52 → AD = √52 = 2√13
Тогда полупериметр p = AB+ CD = 3√13 + 2√13 = 5√13
Радиус вписанной окружности: