Математика онлайн. Доступно о сложном
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Комплексные числа можно представить в трех различных формах: алгебраической, тригонометрической и показательной.
Разберем все три случая.
Извлечение корней из комплексных чисел в алгебраической форме
Данный способ можно применять лишь в самых простых случаях. Кроме того, вычисления получаются достаточно громоздкими.
Однако для применения этого метода достаточно знания школьного курса математики.
Для примера вычислим квадратный корень из -1+i.
При вычислении корня получается какое-то (пока неизвестное) комплексное число. Обозначим его a+ib.
Далее возведем обе части в квадрат и преобразуем правую часть. Помним, что мнимая единица i во второй степени равна -1.
Два комплексных числа равны, если их действительные и, соответственно, мнимые части равны.
Приравнивая их, получаем систему уравнений.
При помощи замены переменной ее несложно свести к дробно-рациональному уравнению.
Знаменатель этого уравнения не может быть равен нулю (если a=0, то второе уравнение системы превращается в ложное равенство 0=1).
Приравнивая числитель к нулю, получаем биквадратное уравнение. Решаем его при помощи замены переменной.
Второе значение t отрицательно, поэтому его отбрасываем.
Теперь можно вычислить a, затем b.
Зная действительные и мнимые части, легко выписать значения квадратного корня.
Обратите внимание, что квадратный корень имеет два значения. Если бы вычисляли кубический корень, то значений было бы три.
В общем случае, при вычислении корня n-й степени, получается n значений.
«Странная» нумерация корней (нулевой и первый) будет понятна в следующей части.
Продолжение
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Лайфаки для студентов"
О канале