Что же такое фрактал? Википедия сразу выдает какое-то малопонятное определение про топологию и пространственность, но в реальности все намного проще. Фракталом можно назвать какую-то фигуру или тело, которое бесконечно повторяет самого себя. Например, в природе существует капуста сорта Романеско, обладающая такими свойствами.
Удивительно, правда? Однако с точки зрения науки такую капусту нельзя назвать полноценным фракталом, так как определение говорит, что самоповторы должны быть бесконечными.
Чтобы начать, нам нужно сделать небольшое отхождение от темы.
Комплексные числа
Опять же, Википедия сразу начинает показывать какие-то сложные графики, теоремы Муавра и подобное, но нам это не понадобится.
Говоря простым языком, комплексным числом просто можно назвать пару чисел a, b, аналогично записываемую как a + bi, где а зовется реальной часть, а b мнимой
Что же такое это i? В школе нам всем всегда говорили, что нельзя брать корень из-под отрицательного числа. Как оказалось, можно, и в математике придумали специальное обозначение для корня из отрицательной единички, назвав его i.
Пока выглядит сложно, но дальше станет понятнее.
Не обязательно вдаваться в подробности, почему, зачем, как и для чего это вообще нужно. В реальности же, нам просто понадобится представлять комплексное число как точку с координатами (a, b).
Множество Манельброта
Что же это такое? Ну, на самом деле все не так сложно. Возьмем какую-то исходную точку с, имеющую координаты X + Yi, или простонародное (X, Y). Начнем заниматься следующим бредом занятием:
Zn+1 = Zn^2 + C
Нулевое число z проложим равное (0, 0)
Если в какой-то момент числа начинают приближаться к бесконечности, то нам такое c не будет интересно. Если же наоборот, то добро пожаловать в клуб множеств Мандельброта.
Возьмем теперь всех членов клуба Мандельброта и положим на плоскость, получится следующая фрактальная картина:
При увеличении на границах получим такую же картину:
Параллельно все это можно раскрашивать в разные цвета, играться с оттенками и контрастом, а также убирать минусы перед в каждом члена ряда Z, возводить не в квадрат, а в шестую степень, то можно получить много всего интересного.
Эффект Ричардсона
Помимо того, что фракталы можно наблюдать в природе, криптографии и радиотехнике, такая теоретическая концепция дает начало множеству других идей в науке. Интересным примером можно назвать эффект Ричардсона, также известный как парадокс береговых линий.
История этого открытия началась в середине прошлого века, когда Льюис Фрай Ричардсон начал исследовать корреляцию между вероятностью военного конфликта и длиной государственных границ. Внезапно он наткнулся на противоречащие данные, когда Португалия и Испания независимо вычислили длины сухопутных границ между друг другом. Заявленные данные отличались почти на 250 километров!
Ричардсон пришел к выводу, что длина границы будет тем длиннее, чем больше мы будем увеличивать масштаб, так как все впадины и выпуклости на карте будут давать более точное приближение к реальной длине.
Встречный вопрос – будет ли длина увеличиваться до бесконечности? Да, но при условии, что мы можем приближать до бесконечности. В настоящей жизни же мы ограничены, скажем, размерами атомов, после прихода к которым увеличение становится проблематичным.
В общих чертах, тут легко проследить связь между фракталами и границами, несмотря на то, что вторые, по строгому определению, не являются целиком самоподобными.
Данное открытие, помимо улучшения современной картографии, положило начало фрактальной геометрии, основоположником которой считают того самого Мандельброта.
Хочется отдельно упомянуть сайт (https://sunandstuff.com/mandelbrot/), где можно поиграться с изображением фрактала в разных вариациях и оттенках, а также с нужной степенью точности. P.S. изображение также можо увеличивать нажатием мышки.