Для успешного решения задачи достаточно знать, чему равна сумма углов треугольника, что такое медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника, какова связь между длинами средней линии треугольника и параллельной ей стороны, уметь применять теорему Пифагора для вычисления одной из сторон прямоугольного треугольника по двум другим его сторонам, понимать, что такое равнобедренный и равносторонний треугольники, и уметь применять их простейшие свойства к решению задач.
Напомним основные факты, связанные с треугольниками:
сумма углов треугольника равна 180◦ ;
внешний угол треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника;
высоты треугольника пересекаются в одной точке;
биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром вписанной окружности треугольника);
серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (эта точка является центром описанной окружности треугольника);
медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершин треугольника;
Задача №1
Один из углов треугольника на 15◦ больше среднего арифметического двух других его углов. Найдите этот угол. Ответ дайте в градусах.
Задача №2
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, угол C равен 106◦ , угол CAD равен 6 ◦ . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Задача №3
В треугольнике ABC угол A равен 46◦ , углы B и C острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Особое место среди всех треугольников занимает прямоугольный треугольник. Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, а синус, косинус или тангенс его острого угла можно найти как отношение катета к гипотенузе или катета к катету. Таким образом, для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливы следующие основные формулы:
Задача №4
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а гипотенуза равна 17. Найдите второй катет этого треугольника.
Задача №5
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с его гипотенузой угол 56◦ . Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Задача №6
Высота BH прямого угла прямоугольного треугольника ABC делит его гипотенузу на отрезки AH =2 и CH =8. Найдите длину этой высоты.
(квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу), откуда
Ответ. 4
Задача №7
В треугольнике ABC угол C равен 90◦ , sin A = 12 13, AC =10. Найдите BC.
Важным частным случаем треугольника является также равнобедренный треугольник. В таком треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой, поэтому именно на ней находятся центры вписанной и описанной окружностей этого треугольника. Частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний треугольник. В нём уже каждая высота является медианой и биссектрисой, поэтому центры вписанной и описанной окружностей совпадают и R=2r
Задача №8
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 15, высота CH равна 12. Найдите синус угла ACB.
Задача №9
Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведённую к его основанию, если боковые стороны треугольника равны 25, а основание равно 14.