Сразу отвечу на этот вопрос: вопреки сложившемуся стереотипу - нет, не имеют! От слова "совсем". И вот почему.
Как известно, украинцы позиционируют себя как потомки запорожских казаков. Вся их постмайданная культура построена на шароварах, чубах и "запорожской вольнице". Эта взаимосвязь между Украиной и Сечью, во вред исторической правде, культивировалась и во времена Советского Союза, и после развала оного. Исторические факты же говорят об ином...
...Итак, в 1775 году Екатерина II принимает судьбоносное решение об окончательной ликвидации Запорожского казачьего войска (первая ликвидация Сечи была осуществлена Петром I еще в 1709 году из-за предательства (!) запорожцев во время войны со Швецией, но в 1729 году, уже после смерти Петра, казаки были помилованы, и Сечь была восстановлена). Позже историки, чтобы хоть как-то обелить запорожских казаков придумали официальную версию разгона Сечи - мол, граница России в 1770-х годах благодаря победам русского оружия передвинулась на запад, и пограничная служба Запорожского войска стала попросту не нужна.
На самом же деле, Сечь фактически представляла собой банду вооруженных и отъявленных вояк, которым было наплевать на русские законы и земляков-"братьев-славян". Войдя в состав России в 1654 году, запорожцы продолжили жить "вольницей". Они постоянно занимались грабежами соседних областей Малороссии и Новороссии, громили поселения сербских колонистов. Кроме того, запорожские казаки поддержали восстание Емельяна Пугачева. И чаша терпения русских властей переполнилась!..
После уничтожения Сечи казаки разделились на две части. Большинство - 12 тысяч запорожцев (что составляло более 70% от общего количества Сечи), - помыкавшись с десяток лет без толку, умолили Екатерину вернуть им казачье сословие и восстановить войско. (Обращаю внимание, что общая численность Запорожского войска на момент разгона, включая женщин и детей, была очень незначительна - не превышала 20 тысяч при общем населении России 28 млн жителей. Для сравнения: численность Войска Донского в 1775 году составляла 110 тысяч казаков обоих полов).
В 1788 году из бывших запорожских казаков было образовано Войско верных Запорожцев. Его атаманами стали Сидор Белый, Антон Головатый и Захарий Чепига. Местоположением войску было определено побережье Черного моря между дельтами Южного Буга и Днестра. В связи с этим войско переименовали в Черноморское. Центром черноморских казаков стало село Слабодзея, ныне город на территории современного Приднестровья. (В связи с этим почему-то приднестровцам не приходит на ум ассоциировать себя с потомками запорожских/черноморских казаков!).
Оставшиеся после уничтожения Запорожской Сечи 5 тысяч казаков (менее 30% от общей численности войска) ушли в земли, принадлежавшие тогда Османской Империи, где сначала кочевали в дельте Южного Буга, затем по разрешению турецкого султана образовали небольшое войско на нижнем Днестре (современной территории Одесской области Украины) и стали ему служить. Но начавшаяся в 1787 году война с Россией разделила казаков, и часть из них вернулась на родину. Они также были приняты в Войско верных Запорожцев (Черноморское войско).
После победоносной Русско-Турецкой войны 1787-1792 годов, в которой проявили себя и черноморцы, Екатерина II даровала Черноморскому войску плодороднейшие земли левобережной Кубани. К тому же России в то время там потребовалась казачья служба на границе с черкесами. И в 1792-1793 годах черноморские (бывшие запорожские) казаки во главе с Захарием Чепигой переселились на Кубань. Там был основан город Екатеринодар (ныне Краснодар), ставший казачьим кубанским центром.
В результате поражения в войне "турецкие" казаки были вынуждены ретироваться за Дунай, где образовали Задунайскую Сечь, которая просуществовала до 1828 года. При этом еще в 1796 году группа из полсотни казаков сбежала обратно в Россию. История Задунайской Сечи - это отдельная история, конец которой связан с очередной Русско-Турецкой войной 1828-1829 годов. Тогда полторы тысячи задунайских казаков, переплыв Дунай и попав в русский лагерь, были прощены Императором Николаем I, который лично возглавлял русские войска на этой войне. Из них было сформировано Отдельное запорожское войско, которое приняло деятельное участие в боевых действиях. По окончании войны войско было направлено на поселение на берег Азовского моря между Бердянском и Мариуполем. С 1831 года оно стало называться Азовским. К 1850 году войско состояло всего из 5 станиц, население которых составляло менее 10 тысяч казаков и казачек. Впоследствии подавляющая часть Азовского войска была переселена вслед за Черноморским на Кубань, а само войско (точнее то, что от него осталось - несколько десятков человек) в 1865 году было распущено.
В 1860 году Черноморское казачье войско объединили с Кавказским линейным казачьим войском, в свою очередь, основанном на Кубани в начале 19-го века из переселенных казаков бывшего Екатеринославского, или, как его еще называли, Ново-Донского, войска. Так появилось Кубанское казачье войско, ставшее к началу 20-го века вторым по численности после Войска Донского - 1.3 млн человек.
Таким образом, уже к концу 18-го века на территории современной Украины запорожских казаков фактически не осталось. Подавляющая их часть была поселена на Кубани, а их потомки, составив Кубанское войско, живут там и поныне. Несколько сотен бывших запорожских казаков после многочисленных переселений осели на побережье Азовского моря на территории современного Донбасса. Еще незначительная часть потомков запорожцев-задунайцев по сей день живут в Добрудже - области на севере Балканского полуострова, на территории современных Румынии и Болгарии.
Таким образом, исторические скрепы казаков Запорожской Сечи по большей мере соотносятся к нашей Кубани, а никак не к современной Украине. Именно поэтому Илья Ефимович Репин этюды к своему шедевру "Запорожцы пишут письмо турецкому султану" в 1880-х годах в основном писал на Кубани. Именно поэтому скульптурную композицию на тему репинской картины воздвигли в Краснодаре...