Топология – это раздел математики, изучающий свойства абстрактных математических объектов, объединяемых словосочетанием "топологическое пространство". Понятие математического "пространства" настолько широко, что не имеет смысла его расшифровывать. Это то же самое, что и понятие математического "множества", только, может, чуть уже, конструктивней. Например, в Википедии написано: "Пространством в математике называется множество, элементы которого (часто называемые точками) связаны отношениями, сходными с обычными связями в евклидовом пространстве (например, может быть определено расстояние между точками, равенство фигур и т. п.), …". В математической энциклопедии: "Логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции". Почти как по Евклиду – место для вложения чего-то.
Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности. А непрерывность определяется через понятие "окрестности". У любой окрестности имеются "внутренняя", "граничная" и все остальные. Окрестность может быть открытой и замкнутой. Открытая окрестность не имеет граничных точек, граница состоит из граничных точек, которые могут принадлежать/не принадлежать ей, а замкнутая окрестность включает в себя всю границу.
Понятие окрестности – фундаментальное понятие топологии. Каждая точка топологического пространства обладает окрестностью. Окрестность точки – это любое подмножество пространства, содержащее эту точку в качестве внутренней. Точка считается внутренней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, принадлежащей этому подмножеству. Точка считается внешней по отношению к подмножеству, если она обладает открытой окрестностью, не пересекающейся с этим подмножеством. Граничная точка подмножества – это точка, любая окрестность которой пересекается как с этим подмножеством, так и с его дополнением. Для всего топологического пространства можно определить (внешнюю?) границу, если ее можно вложить в некоторое объемлющее топологическое пространство той же размерности или определить предельную операцию, определяющую ее границы. Часто такие "дополненные" пространства называются (при выполнении некоторых условий) "проективными". При вложении топологического пространства в пространство большей размерности все исходное топологическое пространство становится граничной.
Некоторые топологические пространства обладают интересными свойствами. Например, бесконечно убывающей последовательностью окрестностей. Бесконечная убывающая последовательность окрестностей – это последовательность окрестностей, где каждая следующая окрестность является подмножеством предыдущей. Свойство убывающей последовательности – иметь предельное подмножество. Свойство фундаментальной последовательности – иметь предельную точку. В этом случае для любого значения диаметра d найдется элемент последовательности окрестностей, полностью принадлежащий окрестности этого диаметра. С этой точки зрения евклидово пространство обладает и не фундаментальными последовательностями (можете поискать ее. Подсказка: последовательность дополнений шара). Любая точка риманова (в т.ч. и евклидова) пространства имеет фундаментальную последовательность, сходящуюся к ней, в силу своей однородности, хотя некоторые топологические пространства ее и не имеют. Так что решение этой топологической характеристики нашей Вселенной зависит от ее геометрии.
Связность – еще одно интересное свойство топологических пространств. Связность означает, что любые две точки можно соединить непрерывной последовательностью преобразований, в частности - соединить непрерывной линией. Непрерывное преобразование означает, что существует множество преобразований, зависящих от непрерывного параметра u: u Î [umin, umax] такое, что малому изменению параметра u соответствует малое изменение координат преобразовываемой точки: limu'→u dq = q(u') – q(u) = 0. Если это сказать простыми словами, то оно сродни несвязности "пространства", образованного не связанными друг с другом несколькими островами.
В отношении к нашей Вселенной свойство ее "связности" может говорить о возможности существования других несвязных с нашей Вселенных, принципиально недоступных нашему "взору". От них невозможно получить какую-либо информацию в силу их взаимной несвязности. О существовании других Вселенных мы можем узнать, только если они каким–либо образом будут связны с нашим пространством.
Эта связь может быть топологической и информационной. Физически это означает о взаимодействии между ними. Топологическая связность осуществляется существованием непрерывной линии между точками пространства. Для примера островов это означает, что появятся, например, лодки, а может – голуби, которые эту "связность" осуществят.
"Информационная связь" осуществляется через общую внешнюю границу этих несвязных Вселенных или другие общие особенности: состояние общей границы является общим достоянием. Общность границы определяется каким-либо биективным отображением "сшивания" их между собой с определением общих приграничных окрестностей. Заметим: невозможно провести непрерывную линию между двумя точками этих двух взаимно несвязных пространств. Включив общую границу в объединенную Вселенную, мы снова получим связную Вселенную, но большую, правда, уже с особенностью. Движение физических объектов через границу невозможно, но перенос информации возможен, т.к. свойства общей границы – общие. Поэтому доступная ГиперВселенная обязана быть связной хотя бы информационно.
Важным возможным свойством пространства (или подпространства) может быть то, что любые точки ее топологически эквивалентны. Это означает однородность и/или изотропность пространства. Однородность (в данном случае – топологическая, в общем случае оно может определяться сложнее) означает, что любые две точки пространства непрерывным преобразованием можно отобразить друг в друга. Изотропность означает, что любые две точки пространства непрерывным преобразованием можно переместить на любые две точки пространства, не считая тождественного, и наоборот. Также необходимо, чтобы пространство обладало свойством связности. Возможно, есть подобные свойства относительно любого количества точек пространства. Они называются симметриями непрерывных преобразований топологического пространства.
Кроме непрерывных симметрий, существуют и дискретные симметрии. Биективное преобразование топологического пространства P:T1 ® T2 в себя называется дискретным, если преобразование P невозможно определить непрерывным образом. Пример такого преобразования – отражение.
С точки зрения математики наша Вселенная обладает определенной топологией. Эта топология определяется в 4–мерном пространстве R4, полученном как прямое произведение 3–мерного и 1–мерного пространств R4 = R3×R1. В каждом из подпространств R3 и R1 по отдельности определены сильные метрики, где из r(a, b) = 0 следует a = b, а в общем 4-мерном пространстве R4 классической механики 4-метрика не определена – пространство и время абсолютны и независимы. Первая метрика является билинейной, а вторая – линейной. Причем пространства R3 и R1 однородны, изотропны и не компактны. Как альтернатива - в СТО, ОТО и подобных им теориях - определена только слабая билинейная (или псевдо-) 4-метрика: в каждой точке локально определено квадратично метризуемое псевдоевклидово пространство и имеется "информационный конус" - множество точек, удаленных от начальной точки на нулевое расстояние. Пространство R4 также однородно и изотропно, пространство СТО – не компактно, пространства ОТО и других теорий могут быть и компактными со сложной топологией.
Насчет конечности или бесконечности (компактности) Вселенной идут споры, но для простого обывателя она бесконечна, однородна и изотропна. Из однородности и изотропности Вселенной следует, что она не имеет собственных особых точек, т.е. все ее точки – не граничные. Но это не значит, что у него не может быть предельных граничных точек. У нее, возможно, все же есть топологические особенности, например, существование границы в виде предельных (локальных выколотых и/или бесконечно удаленных) граничных точек различной формы, и от их топологии зависит конкретная глобальная топология Вселенной. Но присоединение этих предельных точек может нарушить или не нарушить свойство однородности и изотропности пространства, и это зависит от топологического способа такого присоединения. Другие типы особенностей – это аналоги односторонних и двусторонних ручек на плоскости, которые можно получить сшиванием нескольких граничных особенностей. Насчет связности – тоже вопрос. По теории Эйнштейна (ОТО) следует, что пространство-время может иметь конечный объем с определенным радиусом и кривизной, т.е. быть компактным связным топологическим пространством.
Определенный вклад в топологию могут внести материальные объекты Вселенной – элементарные частицы, потому что именно они могут оказаться топологическими объектами (особенностями) Вселенной типа выколотых точек. Это определит их дискретность.
Мощность нашего Пространства – континуум. Мощность возможных ее состояний может быть более чем континуум. Но так ли это? Наше Пространство может быть частью более мощного Пространства, и наоборот - более мощное Пространство может скрываться в каждой точке нашего Пространства.
Мои странички на Дзен: ВАЛЕРИЙ ТИМИН
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Прошу у моих читателей извинения - мои статьи – это мои мысли – а они, как многие убедились, не являются истиной в последней инстанции.