Геометрический и физический смысл производной

Зачастую, в школах уделяют этой теме недостаточное внимание. И зря! Ведь простое заучивание не развивает мыслительные способности должным образом. В этой статье я постараюсь максимально понятно, конечно, с использованием математических терминов, объяснить, как работать с такой вещью как производная.

Для начала нам следует обратиться к механике и вспомнить формулу зависимости координаты от времени при равноускоренном движении:

Здесь x(t) - зависимость координаты от времени, Xo - начальное положение тела, Vo - скорость в начальный момент времени, a - ускорение.

Возьмём производную по времени (т.е. t в данном случае - переменная, а остальные величины - константы) от этого выражения и посмотрим, что получится:

При взятии производной воспользуемся следующими формулами:

У Vo, очевидно, размерность скорости. Проверим размерность слагаемого at:

Получим, в точности, размерность скорости. Сделаем промежуточные выводы:

Производная координаты по времени.

Скорость - это первая производная от координаты по времени.

Теперь продифференцируем (иными словами, возьмём производную) получившееся выражение для скорости:

Получаем ускорение.

Ускорение - это первая производная от скорости и вторая производная от координаты.

Перейдём к геометрическому толкованию, держа в голове выводы, сделанные выше.

Построим произвольный график функции f(x). Отметим по оси ОХ точки (Хо) и (Хо + приращение Х) и соответствующие им значения функции f на оси OY:

Синим цветом изображена функция f(x), оранжевым - касательная в точке Хо.

Как мы уже знаем, Первой производной функции f'(x) является скорость. Но скорость чего? В данном случае скорость изменения функции в точке Хо. По расположению касательной, можем определить, убывает функция или возрастает. Наша функция f(x) - возрастает, потому что тангенс угла наклона касательной > 0. Приведу пример, когда функция убывает.

Тангенс угла наклона касательной < 0. Функция убывает.

Если угол между касательной и осью ОХ острый, то функция возрастает. Если угол тупой (> 90 градусов), то функция убывает.

Вернёмся к нашей функции f(x):

Треугольники обозначают приращения аргумента (х) и функции (f). Что такое приращение функции? Разность между значениями в конечной и начальной точках:

Последнее равенство есть производная по определению.

Стоит сказать, что приращения аргумента и функции очень малы (близкие к нулю). Правильнее будет записать предел:

Это выражение читается как "Предел при дельта икс стремящемся к нулю отношения приращения функции к приращению аргумента"

Рассмотрим пример №1:

Производная квадратичной функции имеет линейный вид.

Приравняем производную к нулю : 8х-5=0 => х=5/8. Заметим, что функция У убывает, если x<5/8, и возрастает, если x>5/8. В точке 5/8 производная равна нулю и касательная в этой точке (изображена оранжевым цветом) параллельна оси ОХ (т.е. тангенс угла наклона равен нулю).

y'< 0 на участках убывания функции

y'> 0 на участках возрастания функции

Точки, в которых производная = 0 или не существует называются критическими.

Рассмотрим пример №2:

В нуле производная равна 0, но функция у(х) возрастает на всей числовой прямой.

Точки, в которых производная равна нулю, но у функция не меняется с возрастающей на убывающую или наоборот, называются точками перегиба.

Остались вопросы? Пишите в комментарии.