Задача 1
В одном из подразделений международного информационного агентства сотрудники, владеющие хотя бы одним из языков: английским, арабским или китайским. Английский знают N1 сотрудник, арабский – N2, с китайским – N3. Кроме того, N4 владеют одновременно английским и арабским, N5 – арабским и китайским, N6 – английским и китайским, N7 знают все три языка. Пусть А – множество сотрудников, владеющих английским языком, В – арабским, С – китайским.
1. Составьте диаграмму Эйлера-Венна, иллюстрирующую отношения между этими множествами и их элементами. Укажите количество элементов в каждый из областей диаграммы.
2. Сколько всего сотрудников в подразделении?
3. Сколько сотрудников знает только один иностранный язык?
4. Выделите на диаграмме множества и найдите их мощность:
D: множество сотрудников, владеющих только китайским и английским языками.
Е: множество сотрудников, владеющих только арабским языком.
5. Представьте множества D и E как результат операций над множествами A, B, C.
Решение:
Обозначим переменными области без пересечений (площадей) на диаграмме Эйлера-Венна. Составим по условию систему уравнений и решим её.
В числах получим следующую диаграмму:
2. Сколько всего сотрудников в подразделении ?
3. Сколько сотрудников знает только один иностранный язык?
4. Выделите на диаграмме множества и найдите их мощность:
D: множество сотрудников, владеющих только китайским и английским языками.
Е: множество сотрудников, владеющих только арабским языком.
Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.
Задача 2
Элементы математической логики.
Даны два высказывание:
А – «число Y делится на X»
B – «число Z делится на X»
Числа X, Y, Z даны в таблице по вариантам. Определить значения истинности следующих высказываний.
Решение:
Задача 3. Элементы математической логики.
Обвиняемые А, B, C дали на суде показания:
Решение:
А : «Виновен А»
B : «Виновен B»
C : «Виновен C»
1. Кто виновен, если все говорят правду
Отсюда следует, что виновен B, так как мы должны выбрать случай, где все булевые функции принимают логическую единицу одновременно. Это только один случай.
2. Кто лжет, если все невиновны
Если все невиновны, то это первая строка таблицы истинности, откуда следует, что показания А неверны, значит он лжет.
3. Кто лжет, если все виновны
Если все виновны, то это последняя строка таблицы истинности, откуда следует, что обвиняемые А и С лгут.
4. Кто виновен, если все лгут
Так как некоторые высказывания противоречивы, то одновременно все лгать не могут, одновременно наши 3 булевых функции, соответствующие высказыванием обвиняемых, нигде не зануляются (одновременно), значит невозможно дать ответ на этот вопрос.
5. Кто виновен, если виновные лгут, а невиновные говорят правду.
Если человек невиновен (0), то его высказывание должно быть истиной (1), и наоборот, если человек виновен (1), то его высказывание должно быть ложью (0).
Зеленым цветом будет отмечать подходящие варианты, а красным – неподходящий. Ни одна строка полностью не подходит. Поэтому нельзя сделать однозначный вывод.
Задача 4
В учебной группе N = 20 студентов. Для выполнения проективного задания из них нужно отобрать группу из K = 8 человек. Сколько различных групп можно создать ?
Решение:
Задача 5
Сколько различных слов, состоящих из K = 8 букв можно составить из алфавита, в котором 30 букв? Считать словом любую комбинацию букв, независимо от смысла.
Решение:
Задача 6
В поезде 18 вагонов. Сколькими способами можно рассадить N = 10 человек, если они должны ехать в разных вагонах?
Решение:
Так как пассажиры должны ехать в различных вагонах, требуется отобрать 10 вагонов из 18 с учетом порядка (вагоны могут отличаться номерами), эти выборки – размещения из n = 18 различных элементов по m = 10 элементов. Число таких размещений находим по формуле:
Задача 7
Сколькими способами можно рассадить за столом K = 8 гостей на К = 8 стульев
Решение:
Задача 8
В буфете продаются пирожки с начинкой K = 8 видов. Сколькими способами можно купить N = 10 пирожков.
Решение:
Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 8 элементов по 10
Задача 9
Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой букв в Вашем имени?
Имя: ИРИНА
Решение:
Количество букв n = 5
Количество возможных перестановок:
Однако, в имени "ИРИНА" есть две буквы И, а при перестановке их местами не меняется смысл слова, поэтому результат нужно поделить на 2. То есть 5! / 2 = 120 / 2 = 60 различных вариантов.
Еще больше подобных разборов в моей группе в vk: Репетитор IT mentor
Спасибо, что дочитали до конца :) Если вам нравятся такие разборы, и вы хотите видеть их чаще, то оставьте обратную связь (лайки, комментарии, ваши мысли).
Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Physics.Math.Code в контакте (VK)