В этой статье я опишу аффинные и евклидовы пространства, а также введу декартову систему координат в евклидовом пространстве. Все будет описано именно в этом логически последовательном порядке. В абстрактном математическом смысле и аффинное, и евклидово пространства являются хаусдорфовыми пространствами, удовлетворяющими сильной аксиоме отделимости: любые две точки хаусдорфова пространства обладают непересекающимися окрестностями. А это уже говорит об их метризуемости, причем аффинное – это метризуемое, а евклидово – уже метризованное пространства. Оба являются сепарабельными пространствами, т.к. в них можно определить счетное всюду плотное подмножество, такое, что в любой окрестности любой точки будет содержаться точка из этого множества. И оба не являются компактными топологическими пространствами, т.к. существуют последовательности открытых подмножеств, не имеющие предела.
Далее. И аффинное, и евклидово пространства оперируют объектами двух типов: векторами и точками. В комплексе они составляют объект типа "свободного вектора", привязанного к произвольной точке пространства.
Это отличает их от векторных пространств, в которых все векторы привязаны к единственной точке, точнее – все векторы имеют одну и ту же начальную точку. Все свойства векторных пространств наследуются и этими пространствами. Но операция скалярного произведения в аффинном пространстве не определяется.
И в аффинном, и в евклидовом пространствах определены понятия различимых точек (см. хаусдорфовость), существования сходящихся к любой точке бесконечной последовательности ее убывающих окрестностей, параллельности прямых, плоскостей и т.д., параллельного переноса объектов. Но в аффинном пространстве невозможно определить перпендикулярность.
На прямой можно определить отношение "находится между". Но в аффинном пространстве, кроме как на одномерной прямой, невозможно определить метрические отношения: на прямой можно определить операции последовательного откладывания заранее определенного отрезка этой же прямой и деления ее на любое целое число частей, и в предельном переходе – определить вещественное отношение двух отрезков на прямой и параллельных ей прямых. Через это отношение можно определить понятие координаты любой точки относительно некоторой выделенной точки, называемой началом системы отсчета (координат) O (см. рис. 2). Преобразования координат, допустимые в аффинном пространстве, те же, что и в евклидовом пространстве (см. формулу 2 - далее), только вместо ортонормированной матрицы g ⁱ ⱼ можно использовать любую невырожденную матрицу.
Метрические отношения между любыми отрезками можно определить в евклидовом пространстве. В ней же, в дополнение к параллельности, можно определить понятия перпендикулярности и угла. Как следствие, в ней также можно определить декартову ортонормированную систему координат (см. рис. 2). Для определения координаты точки (см. рис. 2) в таком пространстве необходимо провести перпендикуляры к осям координат x, y, z и определить расстояние от начала координат O до точек пересечения этих перпендикуляров с осями координат, с учетом знаков. Для примера, координаты точки A будут равны (x, y, z). Кроме такой записи координат точки, применяется и тензорная форма записи в виде (r¹, r², r³).
Декартова система координат отличается от общей с.к. наличием понятия "расстояние" между любыми двумя точками абсолютного пространства с наиболее простой для его вычисления формулой:
Пространство с введенной таким образом метрикой является однородным и изотропным пространством. Свойства всех точек пространства одни и те же.
Все с.к., оставляющие инвариантными выражение (1) для определения расстояния, составляют множество ортонормированных с.к. К преобразованиям координат, оставляющим эту форму инвариантной, относятся трансляции по вектору и повороты пространства, т.е. группа ортонормированных преобразований координат. Математически в общем случае эти преобразования записываются так:
где r ⁱ – координата точки пространства,
r₀ⁱ – вектор смещения новой с.о.,
g ⁱ ⱼ– ортонормированная матрица (тензор) поворота новой с.о.
С т.з. тензорной алгебры, особенностью декартовой с.к. является то, что в ней можно не отличать ко- и контравариантные тензорные объекты, т.к их элементы имеют одни и те же значения, т.е. верхние и нижние индексы не отличаются.
Ну а как здесь с физикой? С материей, временем и пространством? Если принимать триединство "пространства, времени и материи", то никак: оба пространства однородны и изотропны. Выделить в них материю невозможно из-за их однородности и изотропности без дополнительных структурных построений с целью "включения" в нее материального. Более того, пространство в них есть – но "времени" в них нет. Для исключения такого несоответствия придется "расширить" данные пространства, что выведет их за пределы определений аффинного и евклидова пространств.
Да и с "масштабом" метрики евклидова пространства проблемы в смысле материализации. Как известно, в реальном мире этот масштаб имеется, и оно определяется, в общем то, фундаментальными константами ПВМ. Если грубо, то это скорость света, размеры и массы атомов, частоты их линий излучения. В рассматриваемом галилеевом пространстве, также как и в аффинном и евклидовом пространствах, эти константы не определяются. Их можно только выбрать.