Математика онлайн. Доступно о сложном
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Принято считать, что логарифм можно вычислить только от положительного числа. Однако это справедливо только над полем действительных чисел.
Если же работать над полем комплексных чисел, то можно найти логарифм любого комплексного ненулевого числа, в том числе действительного отрицательного.
Давайте посмотрим, как это делается.
Рассмотрим функцию W, равную натуральному логарифму z.
Обратите внимание, что «Ln» записано с большой буквы. Обозначение «ln» тоже будем использовать.
Дальше выразим z через W так же, как это делается в действительном случае.
Распишем z и W. В дальнейшем будет удобнее, если z возьмем в тригонометрической форме, а W – в алгебраической.
Подставим вместо z и W их представления и преобразуем, используя формулу Эйлера (правая часть равенства в третьей строчке).
Теперь приравняем модули.
Из полученного равенства легко выражаем U.
Логарифм здесь понимается в обычном, «школьном» смысле, так как e, U и |z| действительны.
Косинусы и синусы двух аргументов равны в том случае, когда аргументы либо равны друг другу, либо отличаются на число, кратное 2*pi.
Т.е. V имеет бесконечное множество значений. Эту совокупность называют аргументом z.
В теории функций комплексного переменного с большой буквы принято писать многозначные функции. В нашем случае целых чисел n бесконечно много, поэтому Arg z – бесконечнозначная функция.
Подставляя вместо U и V найденные выражения, получим формулу для натурального логарифма.
Ln z – тоже бесконечнозначная функция (из-за присутствия в формуле целого n), поэтому пишем большую букву «L».
Среди бесконечного множества значений логарифма выделяют одно (при n = 0), которое называют главным значением.
Его-то и записывают с маленькой буквы.
Если z – положительное число, то главное значение логарифма совпадает с логарифмом в «школьном» смысле.
Теперь можно вычислять логарифмы отрицательных чисел:
Видим, что они содержат мнимую часть. Т.е. еще раз убедились, что в рамках классического математического анализа логарифм можно найти только от положительного числа.
В заключение давайте еще посмотрим на примере, как вычисляют логарифмы комплексных чисел:
Все статьи серии "Простые ответы на трудные вопросы"
О канале
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).