Обходной маневр как метод решения задач.
Добрый день, уважаемый Читатель! Предлагаю твоему вниманию три задачи школьного уровня, объединенные одним интересным свойством: решение "в лоб" значительно сложнее, чем решение, основанное на содержательной идее. Как пел Бармалей в известном фильме 'Айболит66':
Ходы кривые роет подземный умный крот.
Нормальные герои всегда идут в обход!
Задача 1
Из журнала "КВАНТ", рубрика "КВАНТ для младших школьников", начало 80-х годов прошлого века.
Квадрат (Рис. 1) разбит на n прямоугольников прямыми, параллельными стороне квадрата. Диагональ квадрата делит прямоугольники на трапеции. Трапеции раскрашены в синий (С) и красный (К) цвета так, как показано на рисунке.
Известно, что сумма высот всех синих трапеций равна сумме высот всех красных трапеций.
Докажите, что в этом случае сумма площадей синих трапеций равна сумме площадей красных трапеций.
Как решить эту задачу "в лоб"? На рисунке представлен частный случай, где квадрат разбит на 6 полос, что дает 3 синие и 3 красные трапеции. Но полос могло быть 8, или 10, или 101! Мы не знаем ни количество трапеций, ни высоту каждой трапеции. Можно записать "умное" уравнение со знаком "сигма" и индексами суммирования. Что-то подобное:
СУММА (Hi; 1<=i<=k) = СУММА(Hj; 1<=j<=m), (1)
где k-1 <= m <= k+1
Условие на k и m говорит о том, что количество синих и красных полос отличается друг от друга не более, чем на единицу (так как они идут "через одну").
И это еще цветочки! Аналогичная конструкция для сумм площадей трапеций выглядит монструозной. Дальнейшее решение в этом направлении возможно, но требует терпения и безошибочной техники перемножения рядов. Я пару раз пытался провести все вычисления "по-честному". Безуспешно.
Полезное наблюдение: если сторона квадрата равна единице, то
СУММА (Hi) + СУММА(Hj) = 1, и тогда из уравнения (1) следует
СУММА (Hi) = СУММА(Hj) = 1/2 (2)
Таким образом, сумма высот красных трапеций равна сумме высот синих трапеций и составляет половину стороны квадрата. Помогает ли это справиться с неизвестным числом трапеций? Не очень.
Что будешь делать, дорогой Читатель?
Давай прокрасим наш квадрат еще одной краской:
Обозначим площади синих, красных и зеленых трапеций через S(C), S(K) и S(З) соответственно.
Красные и зеленые трапеции вместе составляют полосы, суммарная высота которых равна 1/2 (см. уравнение (2)). Следовательно,
S(K) + S(З) = 1/2 S(квадрата) = 1/2 (3)
Синие и зеленые трапеции вместе составляют треугольник, площадь которого равна половине площади квадрата:
S(С) + S(З) = 1/2 S(квадрата) = 1/2 (4)
Из (3) и (4) немедленно получаем:
S(K) = S(С), что и требовалось доказать.
Задача 2
Из пункта А в пункт В со скоростью 60 км/час отправляется паровоз. На встречу ему из пункта В отправляется другой паровоз со скоростью 40 км/час. Одновременно с паровозами из пункта А в направлении пункта В вылетает стриж со скоростью 100 км/час.
Долетев до второго паровоза стриж мгновенно разворачивается и летит обратно, навстречу первому паровозу. Встретив первый паровоз стриж снова мгновенно разворачивается и летит навстречу второму паровозу.
Таким образом стриж летает между паровозами, пока они не встретятся.
Сколько километров пролетит стриж?
И снова у нас две альтернативы - решать прямолинейно или "пойти в обход". В чем состоит прямолинейное решение? Мы можем вычислить и просуммировать длину отдельных участков пути стрижа! С математической точки зрения таких участков бесконечное (счетное) множество. Ничего страшного, ряд, представляющий последовательные длины этих участков, оказывается убывающей геометрической прогрессией. Сумма такого ряда вычисляется по известной формуле. Вот только выписать формулу для члена этого ряда непросто! Попробуй, Читатель, сможешь ли ты это сделать? И сколько времени займет этот "очевидный путь решения"?
Заранее предупреждаю, на это потребуется немало времени и аккуратности. Можно посмотреть решение в моей статье на другом канале. И сразу процитирую "обходной маневр" из той же статьи:
Простой и элегантный способ решения данной задачи состоит в том, чтобы найти время, в течение которого летает стриж. Он летает, пока паровозы не встретились. Но они встретятся через 1 час, т.к. скорость сближения равна 40+60 = 100 км/час, а расстояние между пунктами А и В 100 км. За это время стриж пролетит те же 100 км., т.к. его скорость составляет 100 км/час.
Задача 3
Задача №3 - самая простая из сегодняшней подборки. Это стандартная задача на движение для учеников 6-го класса. Я встретил эту задачу, просматривая на Дзен одну из статей, посвященных школьной математике. Но и здесь, как мы увидим ниже, есть два пути решения. Условие:
Автомобиль выехал из пункта А в пункт В. Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 60 км/ч, а вторую со скоростью 70км/ч. Из пункта В в пункт А автомобиль возвращался таким образом, что половину времени его скорость составляла 60 км/ч, а вторую половину 70 км/ч.
Вопрос: в какую сторону автомобиль доехал быстрее?
Как утверждалось в статье (ссылку не смог найти, прошу извинить), задача вызывает серьезные трудности у школьников. Давайте решим ее в прямом смысле "в лоб". Просто аккуратно запишем то, что известно.
Обозначим расстояние между пунктами А и В через 2S. Тогда на первую половину пути из А в В автомобиль затратил время
t1 = S/60
На вторую половину пути автомобиль затратил время
t2 = S/70
Всего на дорогу из А в В автомобиль затратил
Т1 = t1 + t2 = S/60 + S/70 [часов] (5)
В обратную сторону автомобиль двигался t3 часов со скоростью 60 км/ч и проехал при этом 60t3 [км]. Затем, двигаясь еще t3 часов со скоростью 70 км/ч, автомобиль проехал 70t3 [км].
Таим образом,
60t3 + 70t3 = 2S [км] (6)
Следовательно, на обратный путь из В в А автомобиль затратил
Т2 = t3 + t3 = 2t3 = 4S/(60+70) [часов] (7)
В задаче спрашивается, что больше, Т1 или Т2?
Давайте сравним два выражения:
S/60 + S/70 vs 4S/(60+70)
Сократив левую и правую часть сравнения на S и умножив на 10, получим выражение:
1/6 + 1/7 vs 4/13
Приведя дроби к общему знаменателю, получим:
(7+6)*13 vs 4*6*7
или:
169 vs 168
Очевидно, 169 > 168. Следовательно, Т1 > Т2. Поэтому на обратный путь автомобиль затратил меньше времени. Задача решена. Решена понятным "школьным" способом с использованием элементарной базовой формулы на движение S = V*T. Что может быть проще?
Оказывается, может! Взгляни еще раз, дорогой Читатель, мы выписали несколько уравнений, произвели пусть и простые, но вычисления. Уверен, что не все ученики справятся с этой задачей на раз-два. А ведь ответ очевиден заранее! Без всяких вычислений. Тот самый "обходной маневр" возможен и здесь.
Действительно, заметим простой факт: сначала автомобиль проехал равные расстояния со скоростями 60 и 70 км/ч. На обратном пути автомобиль ехал равные по времени участки пути с теми же скоростями 60 и 70. Получается, что в обратном направлении автомобиль проехал большую часть пути с с большей скоростью! Но чем большую часть пути ты едешь на более высокой скорости, тем быстрее ты приедешь! Поэтому на обратный путь автомобиль затратил меньше времени. И не надо никаких уравнений и расчетов.