Доброго времени суток! Предлагаю Вашему вниманию следующую задачу по геометрии:
Стороны треугольника имеют длины 10 см, 24 см и 26 см. Требуется найти углы треугольника.
Подумали?:) Давайте перейдем к решению.
Для того, чтобы решить задачу нужно вспомнить основные теоремы о треугольнике, которые дети изучают в школе на уроках геометрии.
Исходя из теоремы синусов, мы знаем, что отношения длин сторон к синусам противолежащих углов равны. Теорема косинусов, в свою очередь, говорит о том, что квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между этими сторонами.
Какую из данных теорем применить для решения задачи? Или, может быть, можно использовать 2 теоремы сразу?
Я считаю, что можно использовать обе теоремы для решения данной задачи. При таком подходе, для произвольного треугольника, получится система из трёх уравнений для решения задачи, что само по себе уже является не простой проблемой. Однако, решение задачи упростится, если вспомнить, что сумма углов треугольника равна 180 градусов (пи радиан).
То есть если мы нашли 2 угла, то третий угол мы найдём вычитанием из 180 градусов (пи радиан) суммы двух найденных углов.
Прежде чем составлять систему из трёх уравнений, стоит проверить, является ли наш треугольник прямоугольным, то есть треугольником, у которого один из углов равен 90 градусов (или в радианах пи/2). Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для нашего треугольника.
Обозначим стороны буквами a, b, c. Пусть a=10 см, b=24 см, c=26 см. Сторона c является наибольшей по длине, поэтому только она может быть гипотенузой. Если теорема Пифагора будет выполняться для нашего треугольника, то будет соблюдаться следующее равенство:
a^2+b^2=c^2
Подставляем цифры в формулу:
10^2+24^2=26^2
10^2=100
24^2=576
26^2=676.
Подставляя цифры 100 и 576 в левую часть и складывая их получаем, что левая часть равенства и правая совпадают. Значит теорема Пифагора выполняется для нашего треугольника и следовательно он является прямоугольным.
Таким образом, один из углов треугольника мы уже определили и он равен 90 градусов. Осталось найти второй угол, а третий угол мы уже найдём, как я уже писал выше вычитанием из 180 градусов суммы двух углов. Для нахождения второго угла нужно вспомнить определение синуса угла.
Синус угла - это отношение противолежащего к углу катета и гипотенузы.
Найдем синус угла противолежащего катету a. Синус такого угла равен a/c или 10/26. Можно числитель и знаменатель данной дроби разделить на 2. Получим:
a/c=5/13
Угол противолежащий катету a, мы найдём, если вычислим арксинус от синуса угла. То есть наш угол равен arcsin(5/13). Таким образом, 2 угла мы нашли: пи радиан и arcsin(5/13).
Третий угол равен
пи-пи/2-arcsin(5/13)=пи/2-arcsin(5/13) радиан.
Таким образом, мы нашли все три угола нашего треугольника:
пи/2, arcsin(5/13) и пи/2 - arcsin(5/13) радиан.
Спасибо, что читаете. Буду рад, если этот разбор кому-то окажется полезным. Благодаря Вашему лайку статью увидят больше людей. Жду Ваших комментариев. Возможно у Вас есть свой способ решения этой задачи.