#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Цикл статей "Дроби"
Первая часть Вторая часть Третья часть
Четвертая часть Пятая часть Шестая часть
КАК СРАВНИВАТЬ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ?
Здравствуйте, уважаемые читатели! В этой статье будут рассмотрены различные способы сравнения обыкновенных дробей. Должен предупредить, что этот вопрос обсуждается
в учебниках, предназначенных как для четвёртого класса, так и в последующих — вплоть до седьмого. Причём, одно и то же сравнение осуществляется в них подчас различными способами.
Вот номер из каталога заданий ОГЭ-2021 на тему данной статьи, а следующий за ним номер взят из пособия к ОГЭ-2017 под редакцией И.В. Ященко.
Прежде чем читать дальше, решите эти задания и сравните ответы, а возможно и решения, с решениями автора, которые будут приведены ниже.
Вот два правила сравнения обыкновенных дробей, изучаемые
в четвёртом классе.
I. Из двух обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель (обратно: меньше та, у которой меньше числитель).
Поскольку часто обыкновенная дробь является результатом деления натуральных чисел, то становится очевидно, что это правило следует из хорошо знакомого четвероклассникам свойства деления: чем больше делимое при неизменном делителе, тем больше частное.
Прежде чем переходить к следующему правилу, необходимо
для отработки соответствующего навыка, предоставить четвероклассникам возможность подобного сравнения, которое вполне возможно провести устно.
II. Из двух обыкновенных дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель (обратно: меньше та, у которой больше знаменатель).
И это правило следует из свойства деления, когда при неизменном делимом частное уменьшается при возрастании делителя и увеличивается при его уменьшении.
На отработку навыка использования этого правила следует потратить больше времени и использовать большее число соответствующих примеров.
Вот, например, как решаются вышеприведённые задания из каталога «ОГЭ-2021».
№ 12 (337381)
Поскольку, a > b, то, в соответствии с правилом II,
ОТВЕТ. 2.
Ещё одним способом сравнения двух обыкновенных дробей
служит сравнение каждой из них с каким-нибудь числом.
В третьей статье цикла мы таким образом сравнили правильные и неправильные дроби.
Обычно возможность такого сравнения легко замечается учениками.
Сравним, например, дроби
Очевидно, что
№ 2.1. (первая цифра — № задания, вторая — № варианта)
В соответствии с правилом I имеем:
Проверим число 11/23:
ОТВЕТ: 3
Хорошо считающий «в уме» ученик может использовать для подобных сравнений различные дроби:
и многие другие.
В пятом классе для сравнения дробей вида
можно использовать единичный отрезок числового луча.
В самом деле, первой дроби, чтобы стать единицей, «не хватает» всего лишь
а значит точка, изображающая дробь
дальше от отметки 1 и ближе к отметке 0 по сравнению c точкой, соответствующей дроби
(см. рисунок).
Но тогда
Этот результат можно обобщить для любых натуральных значений m и n, при m<n:
Проведём это обобщение с помощью универсального метода сравнения
двух обыкновенных дробей путём приведения к общему знаменателю, в соответствии с правилом I.
Очевидно, что числа «n» и «n+1» взаимно просты, поскольку
при делении второго из них на любой, кроме единицы, делитель первого даёт в остатке число 1.
Имеем обыкновенные дроби
Умножим и числитель, и знаменатель каждой из них на знаменатель другой, воспользовавшись при этом распределительным свойством умножения относительно сложения (которое лично я считаю самым важным в курсе школьной математики!):
Замечу для семиклассников: мы попутно доказали формулу сокращённого умножения «произведение разности и суммы двух чисел равно разности их квадратов».
В результате получили верное неравенство
В некоторых случаях для сравнения удобно приводить дроби к общему числителю, чтобы воспользоваться правилом II.
Требуется, например, сравнить дроби
Вместо того, чтобы затеваться с поиском наименьшего общего знаменателя, приведём эти дроби к общему числителю. Для этого и числитель, и знаменатель первой дроби умножим на 3, а числитель и знаменатель второй — на 2.
Получим верное равенство
Заданные дроби равны...Что ж, случается и такое!
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Другие статьи автора:
- Математический концерт
Цикл статей "Дроби"
1 статья 2 статья 3 статья 4 статья 5 статья 6 статья 7статья [Текущая]