#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Цикл статей "Дроби"
Первая часть Вторая часть Третья часть Четвертая часть Пятая часть
Здравствуйте, уважаемые читатели!
Отмечу, что в одних учебниках материал этой статьи рассматривается в 5-ом классе, в других — в 6-ом. Прежде чем продолжить чтение этой статьи, предлагаю Вам познакомиться с пятой статьёй цикла «Признаки делимости чисел: где мы их применяем в жизни», автор которой #ирина_чудневцева любезно предоставила её в наше с Вами распоряжение.
Нахождение Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) двух чисел служит для преобразований обыкновенных дробей при их сокращениях или для приведения к общему знаменателю при сложении и вычитании.
При наличии достаточного опыта эти преобразования во многих случаях производятся «в уме» и довольно быстро приводят к нужному результату.
Однако так бывает далеко не всегда. При достаточно больших значениях как числителя, так и знаменателя сделать устно подобные преобразования достаточно затруднительно.
В таких случаях необходимо каждое из этих чисел разложить на простые множители. Именно при выполнении этой операции нам на помощь приходят признаки делимости.
Давайте подробно рассмотрим операцию сокращения дроби
Запишем раскладываемое на простые множители число и справа от него проведём вертикальную черту, за которой запишем возможно наименьший простой делитель этого числа.
Результат деления запишем под первым числом, а его наименьший простой делитель — за чертой… Далее запишем частное от деления числа на простой множитель под самим числом, а его наименьший простой делитель — за чертой.
Продолжим этот процесс до появления в частном числа 1.
Отметим каким-либо способом (обычно это делается подчёркиванием) совпадающие множители в этих разложениях.
Произведение подчёркнутых множителей и будет наибольшим
общим делителем: НОД(273; 462) = 3 × 7 = 21.
ВНИМАНИЕ! Теперь для сокращения дроби нам нет нужды делить её числитель и знаменатель на найденный НОД!
В качестве числителя и знаменателя сокращённой дроби будут
произведения неотмеченных множителей в их разложениях:
Пусть теперь эти числа (273 и 462) будут знаменателями каких-то обыкновенных дробей, которые следует привести к общему знаменателю. Не вызывает сомнений, что этот общий знаменатель должен быть наименьшим из всех возможных.
Таким Наименьшим Общим Знаменателем будет Наименьшее Общее Кратное (НОК) этих чисел.
НОК(273; 462) — это одно из этих чисел, умноженное на
произведение неотмеченных множителей в разложении другого
числа:
НОК(273; 462) = 273 × (2×11) = 462 × 13 = 6006.
Умножим числитель каждой дроби на неотмеченные простые множители в разложении на простых множителей знаменателя другой дроби — это будут дополнительные множители, и поставим полученное произведение в числитель приведённой к общему знаменателю дроби, а её знаменателем будет найденное значение НОК.
Осталось показать, что произведение двух чисел равно произведению НОД и НОК этих чисел, Сделаем это сначала в общем виде.
Пусть натуральное число m = ad, а натуральное число n = bd,
где d = НОД(m; n), a — произведение неотмеченных простых множителей в разложении числа m, b — произведение неотмеченных простых множителей в разложении числа n.
Тогда
mn = ad×bd, НОД(m; n) × НОК(m; n) = d × m × b = d × ad ×b = ad × bd= mn.
Предлагаю читателю самостоятельно убедится в справедливости
этого равенства при m = 273 и n = 462.
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Канал Хакнем Школа благодарит нашего автора Себихова Александра Николаевича за познавательный контент и возможность опубликования его в нашем канале!
Другие статьи автора:
Цикл статей "Дроби"
6 статья [Текущая]