Математика онлайн. Доступно о сложном
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Сложность вычисления этого интеграла - в том, что на разных этапах надо будет применять различные методы интегрирования.
Сначала представим его в виде суммы двух интегралов:
Заметим, что sin x в числителе второго интеграла с точностью до знака совпадает с производной знаменателя.
Это наводит на мысль о том, что второй интеграл можно вычислить при помощи внесения функции под знак дифференциала.
Кому этот способ дается тяжело - посмотрите в галерее интегрирование при помощи замены переменной. По содержанию - то же самое, но многим так решать проще, несмотря на то, что вычислений больше.
Теперь перейдем к первому интегралу.
Начнем интегрировать по частям.
Не получается сразу сказать, чему равно V.
Выпишем отдельно и проинтегрируем, например, при помощи универсальной тригонометрической подстановки.
Все подробности - в галерее.
Теперь V известно, можно вернуться к вычислению первого интеграла (четвертая картинка сверху).
Константу c писать не будем, так как V - это одна из первообразных.
Дальше тангенс распишем через синус и косинус и проинтегрируем при помощи внесения синуса под знак дифференциала.
Подсказка для тех, кто привык решать при помощи замены переменной: за новую переменную надо взять косинус в знаменателе.
Остался последний шаг: объединить полученные результаты.
Интеграл вычислен.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Задачи студенческих олимпиад"
О канале