В этой статье расскажу о «простой» алгебре в ЕГЭ. Школьникам будет полезно узнать, к чему готовиться. Взрослым – проверить себя, помните ли вы школьную программу. Для преподавателей я приведу статистику решаемости задач, комментарии ФИПИ и свои. Все вместе подумаем, является ли этот набор задач адекватной проверкой одиннадцати лет обучения.
Профильный ЕГЭ по математике состоит из двух частей:
* задачи с кратким ответом (№1-12),
* задачи с оформлением решения (№13-19).
Посмотрим на задачи с кратким ответом. Каждая из них стоит одинаково: 1 первичный балл. Первичные баллы потом переводятся в баллы ЕГЭ по хитрой шкале, очень грубо можно сказать, что 1 первичный балл это около 5 баллов ЕГЭ (из сотни).
Алгебра с кратким ответом в ЕГЭ действительно простая, её решает большинство учеников. На лишь этом наборе заданий можно заработать 45 баллов из 100, именно такой результат – статистически самый распространённый у выпускников этого года.
Задача 1
Простая текстовая задача на применение математики в реальной жизни. Уровень сложности соответствует 5 классу. Именно эту задачу любят приводить в пример противники ЕГЭ, доказывая, что экзамен слишком простой, любой дурак справится. Очевидно, противники не дочитывают вариант до последних задач. :)
Демо-версия 2021:
Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
В среднем за день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 3 дня. В пачке чая 50 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?
Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 140 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
Весь первый этаж 16-этажного дома занимают магазины, а на каждом из остальных этажей любого его подъезда расположено по 4 квартиры. На каком этаже этого дома находится квартира 165?
Первую задачу верно решают около 90% выпускников. Бывают арифметические ошибки. Важно: все текстовые задачи в экзамене содержат реалистичные данные. Ученик, получив ответ, должен взять за привычку проверять ответ «на адекватность». Если поезд в пути сто лет, на конференцию нужен один пакетик чая, цена со скидкой выше базовой цены, а квартира 165 находится на 167 этаже, то что-то пошло не так: нужно вернуться к расчётам и перепроверить.
Задача 2
Чтение графиков и диаграмм. Вам дают картинку и задают вопрос по изображённым данным. Уровень трудности – начальная школа. Кроме того, соцсети и СМИ приучили нас к инфографике. Детсадовец может зайти в статистику своей личной странички в соцсети, увидеть разнообразные диаграммы и всё понять.
Демо-версия 2021:
Задачу верно решают выше 99% учеников. У меня сомнения, нужна ли она в экзамене. Нужно ли отдельным заданием проверять, что у абитуриента есть глаза и он умеет читать? С этим прекрасно справляется бланк ответов, который правильно заполнить – отдельная задачка.
Задача 4
Текстовая задача на теорию вероятностей. Проверяет определение вероятности, правило умножения или правило сложения.
Демо-версия 2021:
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?
Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?
Верные ответы у 90% учеников. Теория вероятностей попала в ЕГЭ в 2012 году, сравнительно недавно, и это хорошо: сейчас задача про вероятность считается простой, а когда-то могла не войти в школьную программу, и выпускники её совсем не знали. По моему опыту, ученики полностью осваивают тему за три занятия.
Задача 5
Короткое уравнение, первая трудность в экзамене.
Несколько вариантов из демо-версии 2021:
В отличие от предыдущих задач, здесь не хватит интуитивных знаний: надо хотя бы знать, что такое корень и логарифм. В последнем примере к тому же есть ловушка: если начать решать через ОДЗ и потерять условие x>0, то получится неверный ответ.
Выпускники – молодцы и отлично справляются: около 90% получают балл за задачу. ФИПИ считает, что ошибки в этой задаче – исключительно арифметические. Я считаю, что ошибки – из-за ловушек с ОДЗ и страха перед логарифмом. Логарифм изучается в 11 классе, поэтому ученики, которые уже познали тригонометрию и матанализ, по умолчанию считают его чем-то ужасным и трудным, на уровне с прочими кошмарами старших классов. Видят логарифм в задании и не пытаются решать. Ирония в том, что логарифм – простая тема, которую можно было бы изучать и раньше.
Мой личный опыт: в старших классах я сменила школу, в старой школе логарифмы были запланированы на 11 класс, а в новой их прошли в 10 классе. То есть я в школе логарифмы не изучала, и репетиторов у меня не было. Я переписала формулы у одноклассников, на досуге их вывела, порешала задачи из сборников – вот и всё изучение темы в полном объёме, даже учебник поленилась открыть. С тригонометрией бы такое не прокатило.
Задача 7
Элементы матанализа: производная и первообразная.
По моему мнению, производную часто плохо преподают в школах. Учителя дают формальные определения из учебников, заставляют их зубрить как заклинания, но не объясняют, в чём суть явления и зачем оно нужно.
Задачи демо-версии решаются примерно за 10 секунд. Несмотря на это, с задачей справляются далеко не все. По статистике ФИПИ, верный ответ дают 23,9% слабых учеников и 94,7% высокобалльников. Это что же получается: слабого ученика от гения можно отличить одной задачей? Может, уберём все остальные задачи и оставим только эту? Столько времени сэкономим!
Задача 9
Выражения и уравнения. Формально до этого были задачи «первой части», на базовое владение предметом, а сейчас начинаются задачи «второй части», относящиеся к профильной математике. Задание мало отличается от 5 номера, я с учениками разбираю эти номера вместе и вперемешку.
Несколько вариантов из демо-версии 2021:
Верный ответ у 25,2% слабых учеников и у 96,7% сильных. ФИПИ выделяет две типичные ошибки: арифметическую и в знаках тригонометрических функций – ученики часто забывают, что синусы и косинусы бывают отрицательными.
Задача 10
Текстовая задача с реальным содержанием. Пугает впечатлительных математиков жуткими физическими терминами.
Демо-версия 2021:
Алгоритм решения прост: 1) находим в тексте формулу, 2) находим, какая буковка чему равна, 3) подставляем значения вместо буковок, 4) решаем простое уравнение, 5) записываем верный ответ в бланк ответа. В суть физических явлений вникать не нужно.
Иногда бывают задачи, которые сводятся к неравенствам, и вот их даже приходится читать. К счастью, это редкость. У нас тут не литература, чтобы в тексты вникать. (Это ирония.)
Ученики с задачей справляются неплохо, 32,7% у слабых и 98,3% у сильных. ФИПИ пишет: «При решении этой задачи проблемы у участников чаще всего возникают на этапе чтения условия задачи или при подстановке данных в формулу.» Абсолютно правы: здесь всего и нужно, что прочитать условие задачи и подставить данные в формулу.
Задача 11
Текстовая задача на одну из тем: проценты, движение, совместная работа, прогрессии. Идентична аналогичной задачи из ОГЭ, экзамена 9 класса. По школьной программе соответствует 6-9 классам.
Демо-версия 2021:
Весной катер идёт против течения реки в 1 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?
Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?
Первая труба наполняет бассейн на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют тот же бассейн за 45 минут. За сколько минут наполняет этот бассейн одна вторая труба?
Успешность выпускников 21,5% среди слабых и 95,0% среди сильных – хуже, чем у предыдущих задач. Мой опыт подтверждает статистику, текстовые задачи обычно идут гораздо труднее, чем простые вычисления. Усугубляет ситуацию тот факт, что в 10-11 классах ученики почти не решают текстовых задач в школе, и приходится лихорадочно вспоминать забытую программу.
Задача 12
Задача на применение производной для исследования функции: поиск экстремумов, максимальных и минимальных значений.
Варианты из демо-версии 2021:
Задача на ту же тему, что и седьмая, – те же проблемы с пониманием производной. Самая трудная алгебраическая задача с кратким ответом: с ней справляются 8,8% слабых учеников и 85,0% сильных.
Что ещё почитать:
Несправедливый ЕГЭ. Как отличались варианты регионов
Пять уровней подготовки к ЕГЭ
Обидные ошибки умных учеников (алгебра)
Как обойти ЕГЭ? С помощью олимпиад
Начать готовиться к ЕГЭ 2021 можно на моём онлайн-курсе.
Подписывайтесь, если вам интересна аналитика ЕГЭ. В следующей статье разберу задачи по геометрии.
