Юрий Нырков родился 29 июня 1924 года в семье прораба Александра Алексеевича Ныркова и домохозяйки Эльзы Петровны Нырковой в городе Вышний Волочёк Тверской губернии. В семье Юрий был уже не первым ребёнком. В 1928 году семья Ныркова переехала в Чапаевск, а позже переселились в село Путилово.
Когда Ныркову было 12 лет его приняли в команду пионеров, выступавшей на стадионе "Динамо". Позже, он принял участие в международном матче против детской команды из Испании, команда Ныркова одержала победу. В команде Юрия так же был известный хоккейный тренер Анатолий Кострюков.
В 1942 году Юрий был призван в армию и намправлен в Тамбовское артилерийское училище. После окончания училища в мае 1943 года Нырков получил звание младшего лейтенанта и был направлен в полк самоходной артиллерии, сформированной в городе Ивантеевка Московской области с которым впоследствии был отправлен на Калининский фронт. Полк входил в состав Резерва Верховного. Нырков участвовал в Корсунь-Шевченковской операции. После переформирования полк участвовал в освобождении Польши, дойдя до города Штеттин. Оттуда полк был переброшен на южное направление, к городу Кюстрин для подготовки прорыва фронта и наступлению на Берлин.
В январе 1945 года Нырков в составе полка участвовал в операции в районе Кюстрина, в которой территорию занятую немецкими войсками осветили множеством мощных прожекторов. После этой операции полк с боями подошёл к Берлину. Войну закончил 11 мая 1945 года на улице Шпандау-аллее в центре Берлина в звании младшего лейтенанта.
После окончания войны Юрий Нырков по приказу своего командира стал начальником спортивной ячейки своей части. Команда, в которой играл Нырков, выиграла соревнования дивизии, корпуса и, наконец, армии. В 1946 году его команда выиграла Кубок ГСОВГ.
В 1946 года в Группу советских войск в Германии приехал основной состав команды ЦДКА и провёл несколько товарищеских матчей. После одного из матчей, участие в котором принимал Нырков, к нему подошёл Анатолий Тарасов и предложил перейти в ЦДКА. Нырков долго отказывался от перехода, однако, поступил приказ откомандировать его в команду. Несмотря на болезнь, его первым же самолетом отправили в Москву. 9 мая 1947 он приземлился в аэропорту Быково.
Сначала Нырков выступал за дублирующий состав ЦДКА, его команда заняла первое место, однако в матче против киевского «Динамо» получил серьёзную травму колена, которую залечивал в Феодосии.
В сезоне 1948 года Нырков стал игроком основного состава. Вместе с командой выиграл чемпионат и Кубок СССР, однако из-за простуды получил осложнение на почках, поэтому зимой 1949 лечился в госпитале имени Бурденко, а после, по путевке Министерства обороны в туркменском городке Байрам-Али.
Нырков выступал за ЦДКА до августа 1952, был вице-капитаном команды. Летом в составе олимпийской сборной СССР принял участие в 15 олимпийских играх, проходивших в Финляндии. После их окончания команда ЦДСА была расформирована, причиной этому послужило поражение от сборной Югославии.
После расформирования ЦДСА Нырков выступал в команде Калинине. После возрождения ЦДСА в 1954 снова начал играть в этой команде.
В 1958 году присвоено звание судьи республиканской категории.
За сборную СССР дебютировал 15 июля 1952 года на олимпийских играх в Финляндии против сборной Болгарии. Всего провёл за сборную три матча.