Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Связано это с тем, что функция двух переменных f (x, y) = x ^ y в точке (0,0) имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X, где y=0, она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y, где x=0, она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 0^0 не может дать непрерывную в нуле функцию.
Соглашение 0^0 = 1: аргументация сторонников:
Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что 0^0 равно 1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:
можно записать короче, если принять 0^0=1:
(наше соглашение используется при x=0, n=0).
Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:
a^n = 1 * a * a * ... * a,
И тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.
Другое обоснование соглашения 0^0=1 опирается на «Теорию множеств» Никола Бурбаки: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно m^n, при m=n=0 получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение 0^0=1 не используется.
В любом случае соглашение 0^0=1 чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение (a^-1/t)^t, где a — произвольное положительное вещественное число. При t --> 0 мы получаем неопределённость типа 0^0, и, если не отличать предельную форму 0^0 (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение 0^0 (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно a^-1. Это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.
Если даны две функции f(x) и g(x), которые стремятся к нулю, то предел f(x)^g(x) в общем случае может быть любым, таким образом, с этой точки зрения 0^0 является неопределённостью. Для нахождения предела f(x)^g(x) в этом случае пользуются методами раскрытия неопределённости, как правило сначала взяв логарифм от данного выражения:
ln (f(x)^g(x))=g(x) ln(f(x)),
а потом воспользовавшись правилом Лопиталя.
Однако, при определённых условиях этот предел будет всегда равен единице. А именно: если функции f и g являются аналитическими в точке 0 (то есть в некоторой окрестности точки 0 совпадают со своим рядом Тейлора), и f(0)=g(0)=0, а f(x)>0 в окрестности (0, δ), то предел f(x)^g(x) при x стремящемся к нулю справа равен 1.
Например, таким образом можно сразу убедиться, что
lim x^x = 1,
lim (sin x)^tg x = 1,
lim (e^x+1 - x)^x = 1.
При этом надо не забывать, что если хотя бы одна из функций не разлагается в ряд Тейлора в точке 0, то предел может быть любым, или его может не существовать. Например,
lim x^a/ln x = e^a,
lim (e^-1/x)^x = e^-1.
Литература
Подготовил: Лавренков Артём