В физике нам частенько встречается волшебное слово интеграл. Без фундаментального понимания этого термина, пришедшего из математики, будет довольно сложно ориентироваться во всей физической теории, ведь интеграл "вылезает" повсеместно!
Интеграл - это инструмент для решения, который пришел к нам из математического анализа. Термин «интеграл» произошел от латинского integer или целый, то есть вся площадь и был впервые использован Иоганном Бернулли.
Если вы прочитаете определение интеграла в википедии или в учебнике по матану, то волосы встанут дыбом. Понять из этой формулировки ничего невозможно. Точнее, правильнее будет сказать, что разобраться можно но только при условии, что вы и без того знакомы с этим термином.
Нам же проще всего сказать так:
Интеграл - это сумма небольших кусочков, входящих в состав некоторого исследуемого объекта.
Посмотрите на картинку выше и увидите, что эти кусочки составляют что? Правильно, некоторую геометрическую фигуру. Если сложить их вместе, то найдется площадь всей фигуры. Значит, определение интеграла можно сформулировать и так, что интеграл есть площадь некоторой фигуры, находящейся под линией функции.
Всё это вместе называется определенный интеграл. Он определен на интервале от точки a до точки b. Сверху он ограничен некоторым графиком функции.
Записывается всё это примерно так:
Где f(x) - есть та самая функция, график которой ограничивает фигуру сверху. a и b - пределы. x - это направление, вдоль которого мы выстраиваем эти столбики.
Теперь самое интересное. Наверняка многие помнят, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.
Если мы хотим найти минимальный отрезок или кусочек такой функции, нам нужно взять от неё производную. Ведь производная или дифференциал и есть способ найти маленький кусочек чего-либо. Легко прослеживается, что минимальная фигура-кусочек, приведенная на рисунке выше, при таком количестве кусочков не повторит форму кривой функции. Значит, нужно уменьшать размер таких кусочков, чтобы они максимально точно легли на график. Площадь такого маленького кусочка будет стремиться к 0, т.к. чем меньше мы кусок берем, тем для нас лучше и точнее. Ну а площадь всей фигуры будет составлена из суммы этих кусочков, стремящихся к нулю. Как это обычно пишут в учебнике?
Что же это за китайская грамота? Смотрим картинку.
Мы выяснили, что нас интересует площадь одного кусочка. Как его найти? Как площадь прямоугольника. Значение Y умножить на значение дельта Х. Фигура состоит из кучки таких кусочков. Значит надо их просуммировать. Ставим знак суммы. Всё сложили..Вроде всё..А, нет! Обозначим, что каждый кусочек дельта Х стремится к нулю. Ведь нам нужна максимальная точность (см.выше).
Ну и ненавистные лимиты тут откуда? Или пределы, говоря по-научному.
Мы обозначаем, что число участков дельта Х стремится к бесконечности. И говорим, что существует предел интегральной суммы, составленной из таких кусочков, стремящихся к нулю каждый и к бесконечности по количеству таких кусочков. Или скажем проще - у нас есть правая граница нашей фигуры, которая и будет пределом.
Всё это был геометрический смысл определенного интеграла. Нас же интересует физический смысл. Правда логика меняется не сильно :)...
Физический смысл интеграла
Физический смысл интеграла есть сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Значит, мы можем посчитать любую величину, изменение которой задано функцией. Например, найти суммарный путь, зная закон, по которому изменялась скорость.
Вообще, сам по себе интеграл появился из потребности вычислять площади любых фигур и объем любых произвольных тел.
Если действие происходит с постоянной характеристикой, например скоростью, то для нахождения пути надо эту постоянную скорость умножить на время. Ведь изменение происходит линейно. Этот же момент можно проверить, найдя интеграл от такой функции и получив уравнение прямой.
Но скорость на протяжении пути может меняться, причем изменение это можно описать зависимостью. Вот и остается взять граничные условия (например, в случае расстояния - это временной промежуток) и впихнуть в интеграл скорости по времени. Вся эта канитель будет равна площади трапеции под функцией нашей скорости. Вот он и физический смысл.
Понятно, почему площадь? Потому что мы помним, что S=V*t. Тут у нас t - это дельта t. А V - это высота до точки. Перемножили, получили и путь, и площадь :)...
Теперь нужно научиться считать определённый интеграл, но это уже совсем другая история :)...И да, интеграл считается так, а не как-нибудь иначе, потому что все эти вычисления многократно проверены опытным путем.
П.с. Ещё, конечно же, существует неопределенный интеграл. Но про это как-нибудь в другой раз. Логика-то там вообще простая. Нет пределов a и b,а есть бесконечно большая и длинная функция.
Если статья помогла вам разобраться в вопросе, то пожалуйста тыкните пальцы в верх и подпишитесь на проект. Нам хочется расти и развиваться, а вы нам поможете своим лайком!