Алексей Кожевников родился в 1933г в городе Ленинград. Он воспитывался в семье мамы, которая была учительницей и отца, который работал на заводе, у него так же было три брата, сразу после его рождения, отец умер и ответственность за жизнь детей перешла к маме и стершему брату Михаилу. После начала Великой отечественной, старшему брату пришлось пойти на войну, откуда он больше не вернулся, Мать осталась одна с двумя детьми, им пришлось переехать в другой город, но после снятия блокады они вернулись. Она устроилась сторожем, а Леша бросил школу, чтобы хоть как-то помогать матери, он пошел работать помощником на завод, где его через некоторое время повысили, за хорошее выполнение работы.
Юношу отправили в военно- механический вуз, где на сцене небольшого театра он начал раскрывать скрытые в себе актерские способности, там его заметил один из режиссеров и позвал снимать в своей картине. Первый фильм в которой снялся Кожевников и с которого начался его путь, был- "Первый Эшелон", После выхода фильма, его приглашали на различные роли.
Личная жизни у артиста не было, как таковой, потому что у него было заболевание и он знал, что ему не долго осталось, он не хотел никого обременять , хотя ходили слухи, что он был влюблен в свою колегу, актрису Надежду Румянцеву.
В возрасте 40 лет, актер все же нашел родственную себе душу, актрису Людмилу Ксенофонтову, он сразу предупредил ее о своих проблемах со здоровьем, а также сказал, что не хочет становится для нее обузой, Людмила скрасила последние годы жизни актера. Кожевников скончался 53 года, от сердечного приступа