Вы главный советник чудаковатого короля, которому необходимо выбрать себе наследника. Он хочет, чтобы его наследник хорошо знал арифметику, был удачливым и главное — честным. Поэтому он придумал для своих детей соревнование и приказал вам назвать победителя.
Каждому участнику будут выданы две одинаковые шестигранные игральные кости. Числа на красных — 2, 7, 7, 12, 12 и 17, а на синих — 3, 8, 8, 13, 13 и 18. Кости с одинаковой вероятностью могут выпадать любой стороной.
Каждого участника отправляют в Королевскую игорную комнату, где он должен бросить обе кости 20 раз. Счёт участников начинается с нуля, и после каждого броска они должны добавить к нему сумму двух чисел, выпавших на костях. После 20 бросков они должны сообщить королю свой итоговый счёт.
Комнаты закрыты, и за соревнованием никто не следит. Это значит, что участники могут допустить ошибку или, того хуже, записать жульнический счёт. И тут на помощь приходите вы. Король приказал вам, что если вы хотя бы на 90% уверены, что участник допустил ошибку или сжульничал, он должен быть исключён из соревнования. Тот из оставшихся, у кого будет самый высокий счёт, станет наследником престола.
Вы объясняете правила, и дети расходятся по комнатам. Когда они возвращаются, Алекса говорит, что набрала 385. Бертрам — 840, Кассандра — 700, а Драко — 423.
Будущее королевства — в ваших руках. Кого вы объявите самым достойным наследником?
Остановитесь здесь, чтобы ответить самостоятельно.
Если подумать, то большинство этих чисел вызывает сомнение. Начнём с наибольшего.
Бертрам набрал 840. Впечатляет! Но возможно ли это? Наибольшие числа на костях — 17 и 18. 17 плюс 18 равно 35, поэтому за 20 бросков самая высокая возможная сумма — это 20 умножить на 35, то есть 700. Даже если бы Бертраму выпадали только наибольшие числа, он не набрал бы 840. Поэтому он выбывает из соревнования.
Кассандра говорит, что набрала 700. Теоретически это возможно, но какова вероятность такой удачи?
Чтобы набрать 700, Кассандре должны выпасть наибольшие из шести чисел 40 раз подряд. Вероятность этого равна 1 на 6 в сороковой степени, или 1 на 13 нониллионов — это 13 с тридцатью нулями.
Для сравнения — в мире 7,5 миллиардов человек, и даже 7,5 миллиардов в квадрате — это намного меньше, чем 13 нониллионов. Выпадание наибольших чисел 40 раз подряд гораздо менее вероятно, чем если бы вы совершенно случайно выбрали человека в любой стране мира, и это оказался бы актёр Пол Радд. А потом вы выбрали случайно ещё раз, и это опять оказался бы Пол Радд!
Вы не можете быть уверены на 100%, что Кассандра не набрала эту сумму, но вы точно можете быть уверены на 90%. Поэтому она выбывает из игры. Следующий претендент — Драко, он набрал 423. Этот счёт не настолько высок, чтобы казаться подозрительным, но он невозможен по другой причине.
Возьмите числа с каждой кости и сложите их. Какое бы сочетание вы ни выбрали, сумма заканчивается на 0 или 5. А всё потому, что каждое число на красной кости на 2 больше, чем кратное пяти, а каждое число на синей кости — на 3 больше, чем кратное пяти. Поэтому, если их сложить, то сумма всегда будет кратной пяти.
Если сложить два числа, кратных пяти, то сумма тоже будет кратной пяти. Такие отношения между целыми числами изучает раздел математики, называемый теорией чисел.
Здесь теория чисел говорит нам, что счёт Драко, не являющийся кратным пяти, невозможен. Поэтому он тоже выбывает.
Остаётся лишь Алекса — её счёт кратен пяти и вполне достижим. Если быть точным, самым вероятным является счёт 400, поэтому ей не особо повезло. Но так как все остальные выбыли из игры, она становится победителем. Да здравствует королева Алекса, достойнейшая наследница! По крайней мере, если вы согласны, что выбор правителя стоит оставлять на волю игральных костей...