Сопряженные векторы тензорного пространства
В тензорном исчислении (и векторной алгебре) очень важным моментом является существование операции поднятия/опускания индексов. Эта операция позволяет единообразно определять многие важные моменты этой алгебры. Соответственно индексы с верхним расположением называются контравариантными, а с нижним – ковариантными.
Соответствующие друг другу контравариантный и ковариантный векторы называются сопряженными. Именно через сопряженные векторы определяется скалярное произведение векторов:
Замечание: запись вида (1) и (6) (см.далее) имеет смысл суммирования по одинаковым индексам:
Скалярное произведение двух векторов A и B в векторной алгебре в каком-то смысле определяет длину "проекции" одного из векторов на направление другого вектора:
Например, проекция вектора A на направление вектора B определяется по формуле:
В (3) появилась "длина вектора B" = |B|.А длина вектора – это, в принятых выше определениях, проекция вектора на собственное направление:
Здесь появилась еще одна неопределенная операция – по известному контравариантному вектору найти ее ковариантный вектор. Вот эта задача, поставленная в заголовке, и является нашей задачей.
В тензорной алгебре сопряженный вектор может быть получен специальной операцией опускания индексов для контравариантных и операцией поднятия индексов для ковариантных векторов. Операция поднятия/опускания индексов осуществляется с помощью невырожденного, а в ортонормированном метрическом пространстве - диагонального единичного метрического тензора gij:
Метрический тензор симметричен относительно главной диагонали. Контравариантный тензор gij из нее получается взятием обратной матрицы:
Здесь dik – единичная матрица. В смешанном тензоре имеет значение отдельно порядок верхних и отдельно порядок нижних индексов, даже если они между собой перепутаны.
Сопряженные векторы галилеева пространства
Здесь есть большая проблема – в галилеевом пространстве принципиально не определена не вырожденная операция сопряжения. Нет невырожденных операции, определяющих в галилеевом пространстве некий параметр типа "длина 4-мерного вектора галилеева пространства", включающий в себя все четыре координаты вектора - и время, и расстояние. Просто нет! Следовательно, невозможно стандартно определить сопряженные вектора. А с помощью вырожденных операции сопряжения получаются две метрики:
При этом при сопряжении по временному индексу изменяется положение временного индекса, а при сопряжении по пространственному индексу i Î {1..3} изменяется положение пространственных индексов. Поэтому в галилеевом пространстве векторы либо изначально контравариантны, либо изначально ковариантны. Но без скалярного произведения. Именно в силу этого факта классическая механика пользуется галилеевым пространством, но при этом не путает между собой временные и пространственные координаты. И в силу этого при галилеевых преобразованиях координат появляются разного вида псевдо-"скаляры", псевдо-"векторы" и псевдо-"тензоры" со своими особыми правилами преобразования типа "правила галилеева сложения скоростей".
Но есть способ определить не стандартный не вырожденный сопряженный вектор (тензор) и в этом случае. Выбирается какая либо с.к. и определяется как выделенная (аналог – АСО – абсолютная система отсчета). В этой с.к. для вектора (тензора), не имеющего сопряженного, делается сопряжение вектора (тензора) по следующему правилу:
1) При сопряжении по временному индексу значение сопряженного элемента не изменяется.
2) При сопряжении по пространственному индексу значение сопряженного элемента изменяется на противоположное.
Эти правила соответствуют сопряжению временных и пространственных элементов векторов в классической механике. Правда, в результате получается не совсем галилеево пространство и не совсем классическая механика. А точнее – для выбранного АСО получается "интервал" пространства Минковского:
В результате получается абсолютное галилеево пространство–время с выделенной с.к. (АСО), в которой допустимы нормальные галилеевы преобразования координат и тензоров. Галилеево оно потому, что применяются галилеевы преобразования координат, а АСО – потому, что операция сопряжения для вектора определена только для векторов выделенного ИСО. Поэтому это пространство не совсем Минковского, а псевдо -Минковского или даже недо-Минковского. Его свойства отличаются от свойств пространства Минковского – оно все же остается абсолютным.
Ради справедливости необходимо указать и другой способ сопряжения. В этом случае слагаемые в (8) и при Δr, и при Δt нужно взять с положительными знаками. Но этим способом мы просто получим евклидово пространство с размерностью на 1 больше - и всего лишь.
Скалярное произведение векторов после галилеевых преобразований координат
При преобразованиях координат для пары исходно различных "сопряженных" векторов A и B формулы (1) и/или (7) остаются в силе. Для них при переходе в любое ИСО "сопряженные" векторы преобразуются по различным законам – и они уже по умолчанию сопряжены по положению индексов. Для получения сопряженной пары определенного вектора, для которой заранее не был определен сопряженный вектор, для получения его скалярной "длины" необходимо поднять (или опустить) индексы. Это можно сделать
1) либо заранее в исходной с.о. (АСО),
2) либо из ИСО перевести в АСО, получить сопряженный вектор и после этого перейти снова в ИСО,
3) либо воспользоваться специальным преобразованным метрическим тензором. Такой тензор в галилеевом пространстве уже не будет иметь диагональный "единичный" вид
Произведем скалярное произведение произвольных векторов A'i и B'j в преобразованной системе координат:
т.е. для любых двух векторов Ai и Bi их прямое "скалярное" произведение является инвариантом при галилеевых преобразованиях. Это следовало ожидать из тензорных свойств векторов и тензорного характера галилеевых преобразований координат. Это верно также при любых значениях метрического тензора классической механики, потому что оно относится непосредственно к любым контравариантным и ковариантным векторам.
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?