#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
ЕСЛИ РЕБЁНОК ЗАИНТЕРЕСОВАЛСЯ ЭТИМИ ЗАДАЧАМИ, ТО…
Продолжением заглавного предложения, уважаемые читатели, я закончу эту статью, а начну её с небольшого рассказа, не лишённого, однако, математического содержания...
Многие знакомы с легендой о юном Карле Гауссе — его полное имя Иоганн Фридрих Карл Гаусс [1777-1855].
В некоторых источниках, включая и популярный не так давно учебник математики, рассказывается о том, как классу, в котором учился семилетний Карл, было задано сложить все натуральные числа от 1 до 100.
При этом давший это задание учитель рассчитывал отдохнуть с полчаса, а может быть и чуток больше…Но не успел он поудобнее устроиться в кресле и развернуть газету, как его кто-то тихо тронул за рукав, это и был Гаусс, он протянул учителю тетрадь в которой было написано только одно число: 5 050, и это был правильный ответ!
Вместо последовательного сложения заданных чисел малолетний ученик начал «играть» с ними: сначала он сложил первое и последнее числа: 1+100 = 101, затем второе и предпоследнее: 2 + 99 = 101…
Чтобы проверить свою догадку, на «всякий случай» он ещё сложил 3 + 98 = 101
и потом смело умножил 101 на 50 (по числу получающихся пар):
101 × 50 = 5 050.
На самом деле «подвиг» Карла Гаусса был ещё значительнее…Ему шёл десятый год, мальчики только-только начинали знакомиться с арифметикой, и они ещё даже не слышали об арифметической прогрессии.
Учителю было легко дать длинную задачу на сложение, ответ к которой он мог найти по формуле за несколько секунд.
Задача требовала выполнить сложение 81 297 + 81 495 + 81 693 +...+ 100899, где каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину (в данном случае на 198) и общее число чисел дано (здесь 100).
И именно с этой задачей третьеклассник Гаусс справился менее чем за минуту! Представляю читателю самостоятельно найти ответ.
В современном пособии «Математика. 5 класс» — учебник для учащихся общеобразовательных организаций [А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С.Якир] — 2-е изд., перераб. — М.: Вентана-Граф, 2017.] приведена следующая задача, являющаяся обратной по отношению к задаче, решённой Гауссом.
РЕШЕНИЕ.
Вначале естественно попробовать метод перебора и для проверки сложить полученные числа. Начинать, естественно, следует с наименьших чисел:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7=(1+7) × 3 + 4 = 24 + 4 = 28
ОТВЕТ. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Стало даже как-то обидно за наших пятиклассников.
Попробуем слегка усложнить условие задачи с одновременным переводом его на математический язык:
«Пусть сумма семи последовательных натуральных чисел будет равна 42. Найдите эти числа».
Начав решение перебором с простейшего случая, рассмотренного выше, найдём, что сумма первых семи натуральных чисел равна 28…Что же дальше?
Будем двигаться методом проб и ошибок.
Найдём разность между заданной величиной суммы и полученной нами:
42 - 28=14…
Тут можно догадаться, что каждое из ранее найденных чисел следует увеличить на 14 : 7 = 2…Проверим!
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (3+9) × 3 + 6 = 12 × 3 + 6 = 36 + 6 = 42.
ОТВЕТ. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Мы нашли хороший метод решения простейших задач, обратных по отношению к задаче, решённой юным Гауссом, получившим впоследствии за свои многочисленные блестящие работы по математике титул «король математиков», которым его наградили восхищённые современники двести лет назад.
Прежде чем рассмотреть методы решения всё более сложных задач, для которых метод перебора не совсем подходит из-за некоторой своей громоздкости и большого числа производимых вычислений, замечу, что изучая математику, мы постоянно знакомимся с новым материалом, требующим определённых усилий для его понимания и запоминания.
Однако следует хорошо понимать, что этот материал либо позволяет решать задачи, которые ранее не могли быть решены, либо значительно упрощает решение уже знакомых. Так, в 9-ом классе вы познакомитесь с арифметической прогрессией, о которой упоминалось выше, а в 5-ом классе вас ожидает знакомство с понятием «среднее арифметическое».
Считаю, что познакомиться с ним можно уже сейчас.
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.
Если применить это определение к суммам, заданным в двух рассмотренных выше задачах, то мы увидим, что в первой задаче средним арифметическим семи чисел является число 28 : 7 = 4, в во второй — 42 : 7 = 6.
Взгляните ещё раз на последовательности полученных чисел! Замечаете? Средние арифметические стоят в самой середине этих последовательностей...
Значит, остаётся выписать три предыдущих и три последующих этим средним арифметическим числа!
Посмотрим, как работает метод «среднего арифметического» в следующей задаче:
«Найдите последовательность из пяти чисел, в которой разность между соседними числами равна 5, а сумма этих чисел равна 125.»
РЕШЕНИЕ.
Среднее арифметическое этих чисел равно 125:5 = 25.
Найдём предыдущие 2 и последующие 2 числа сперва 2-мя последовательными вычитаниями, а затем 2-мя последовательными прибавлениями заданной разности:
25-5 = 20,
20-5 = 15;
25+5 = 30,
30+5 = 35.
Проверим:
15 + 20 + 25 + 30 + 35 = (15+35) × 2 + 25 = 50×2 + 25 = 100 + 25 = 125.
ОТВЕТ. 15, 20, 25, 30, 35.
Замечу, что этим способом не всегда можно решить задачу с чётным числом слагаемых. Заменим, например, в предыдущей задаче число слагаемых — пусть их будет 4, а их сумма составит 90.
Но 90 не делится на 4. Это значит, что придётся воспользоваться методом перебора.
Среднее арифметическое должно находиться между числами 20 и 25. Если взять число 20, то надо будет получить одно предыдущее и два последующих числа с разностью между соседними числами, равной 5.
15 + 20 + 25 + 30 = (15+25) + (20+30) = 40+50 = 90.
ОТВЕТ. 15, 20, 25, 30.
Более сложные задачи с большим числом слагаемых и большой разностью между ними могут помочь формулы, связанные с арифметической прогрессией, но знакомство с ними придётся отложить до 9-го класса…
Приведу ответ на задачу, решённую юным Гауссом: это число 9 109 800.
Осталось только закончить заглавную фразу: Если ребёнок заинтересовался этими задачами, то есть надежда, что он станет хорошим математиком, что будет полезно в любой профессии; если же он не заинтересовался этими задачами, то это ещё ничего не значит — он вполне может стать хорошим математиком.
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Другие статьи автора:
- Математический концерт