Возник вопрос с извлечением корней. Вообще, из школьного курса известно, что квадратный корень имеет два значения, и есть понятие "арифметический корень". Обычно полагают, что значение корня положительно, а варианты учитывают с помощью ±. Для кубических корней такое не всегда проходит, а если в формуле корень встречается два раза, возможны варианты: где-то предполагается, что все корни принимают одно и то же значение, а где-то они независимы...
В ТФКП функция √x+2√x четырехзначна и не совпадает с двузначной 3√x. Так что здесь без специальной подготовки лучше осторожненько продвигаться.
Вот эта шутка: 1 = √1 = √((-1)∙(-1)) = i∙i = -1 решается именно через двузначность корня! Да, √1 имеет две ветви, одна из которых единица; но есть и вторая ветвь. И когда мы представили один корень в виде произведения двух, мы произвольно выбрали одну ветвь из четырех (попарно совпадающих), а вторую отбросили. А надо было брать именно ее.
Правильно сделать так: 1 ∈ √1 = √((-1)∙(-1)) = (±i)∙(±i) = ±(-1)=±1: обе ветви учтены и противоречия не возникает. Здесь каждый плюс-минус независим в пределах формулы.
Можно же шутку и проще оформить, без всяких там мнимых единиц:
1 = √1 = √((-1)²) = -1. Но нет, при всяком извлечении корня надо думать, какую из ветвей брать.
Тот же принцип играет в таком примере: (½(i√3-1))³=-1, что легко проверяется непосредственно с учетом i²=-1. Однако при этом, извлекая корень кубический, имеем ½(i√3-1)=-1, откуда i√3=-1 или -3=1.
В чем проблема? В том, что мы, извлекая кубический корень из -1, выбрали одно значение, равное -1, а надо было брать другое, равное как раз ½(i√3-1). А всего их три.
Давайте выясним, как извлекать корень любой степени из любого числа, вещественного или комплексного.
Как я уже рассказывал, комплексное число характеризуется модулем r и аргументом f (это аналог знака). Изображается число z=a+ib на плоскости точкой с координатами (a,b), а в полярных координатах r (r²=a²+b²) это модуль |z|, а угол f определяется из соотношения tg(f)=b/a. Для положительных аргумент равен нулю, для отрицательных он равен π.
Число может быть записано в экспоненциальной форме:
В такой форме очень просто перемножать числа, возводить в степень и извлекать корни (а еще вычислять логарифмы).
Формула получается из формулы Эйлера:
которую можно считать определением степени с комплексным показателем. Теперь видно, что аргумент многозначен, поскольку синус и косинус периодичны: добавьте к f число 2π и ничего не изменится.
Да, экспонента периодична и имеет период 2πi.
Запишем это так:
Пока период роли не играет из-за периодичности экспоненты: при всех k одно и то же значение. Но при извлечении корня начнет играть. Возьмем корень третьей степени из единицы. Единица (1=1+0i) у нас имеет модуль единица (r=1) и аргумент, равный нулю (f=0). Поэтому в ее записи в показателе только 2πik. Корень третьей степени есть степень ⅓, что дает
Теперь для разных k получаем разные ответы; для k=0 получаем единицу, так и должно быть, мы знаем, что единица входит в число значений. При k=1 и k=2 получаем два разных комплексных значения:
cos(2π/3)+isin(2π/3)=½(-1+i√3) и
cos(4π/3)+isin(4π/3)=cos(-2π/3)+isin(-2π/3)=cos(2π/3)-isin(2π/3)=-½(1+i√3)
Они сопряженные, и так и должно быть. Далее значения начнут повторяться из-за периодичности. Все правильно, их и должно быть ровно три разных.
Если Вам интересно, вычислите:
- корень четвертой степени из 1;
- кубический корень из -1;
- число i в степени i. Модуль i равен 1, аргумент π/2.
Логарифм -1, например, считается так. Модуль равен 1, аргумент π, так что ln(-1)=ln(1)+iπ+2πik=iπ+2πik. Да, логарифм многозначен, для всех k получаются различные значения. Если выбрать одно, то это iπ, но лучше не забывать, что их много.