Здесь продолжу тему, начатую ранее в теме Преобразования координат евклидова пространства. Но только в отношении 3-мерного пространства. Тем, кто не очень близко знаком с геометрией (а также математикой и физикой), предлагаю не очень вглядываться в формулы. Для непривычного взгляда они могут быть очень и очень непонятными. При их записи применялись методы матричной алгебры. А наиболее важными здесь являются последние две формулы - (9) и (10).
Любой поворот в трехмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трех ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат) – x, y и z. Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трех матриц поворота.
Матрицами поворота вокруг оси декартовой системы координат на угол θ вокруг осей x – в плоскости (yz), y – в плоскости (zx), и z– в плоскости (xy), в трёхмерном пространстве являются:
Положительным углам при этом соответствует поворот вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси. Например, при повороте на угол 90° вокруг оси x ось y переходит в z. Аналогично, при повороте на угол 90° вокруг оси y ось z переходит в x. Аналогично, вокруг при повороте на угол 90° вокруг оси z ось x переходит в y. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика). Матрицы поворота легко переносятся и на многомерные пространства.
Знаки перед синусами определяются порядком перечисления осей плоскости поворота: какая названа первой, в той строке перед синусом минус:
P(x, y) → M(1, 2) < 0, P(y, z) → M(2, 3) < 0, P(z, x) → M(3, 1) < 0 .
Выражение матрицы 3-мерного поворота через угол поворота φ и единичный вектор оси поворота v = (x, y, z)
В декартовых координатах матрица поворота имеет вид:
Последовательные повороты около осей z, x', z'', на угол прецессии (α), угол нутации (β) и на угол собственного поворота (γ) приводят к следующему выражению для матрицы поворота:
Ось x' — ось x, повернутая первым поворотом (на ), z'' — ось z, повернутая первым и вторым поворотом (на αи β b). Вследствие перестановочности поворотов приведенная матрица соответствует поворотам на углы вокруг осей z, x, z:
M(α, β, γ) = Mz(α) × Mx(β) × Mz(γ).
Матрица бесконечно малого поворота в 3-мерном пространстве
Матрицы поворота на бесконечно малый угол φ вокруг осей декартовой системы координат x, y, z ) в трёхмерном можно получить из (1, 2, 3). Для этого устремим угол θ к нулю. В результате получим:
Перемножив все три матрицы друг на друга, в результате получим матрицу обобщенного поворота на бесконечно малые углы θ ⁱ вокруг соответствующих осей декартовой системы координат (x, y, z): (6)
Избавляясь от бесконечно малых членов второго порядка по углу поворота, получим результат: (7)
Этот результат (7) не зависит от порядка матричного произведения (6). И этот результат можно получить без перемножений матриц. Вспомним (4). Приняв во внимание, что
cosθ: (θ →0)= 1 = cosθ,
sinθ: (θ →0) = θ = sinθ,
получим следующий результат: (8)
Сравнивая (7) и (8), можно сделать вывод о следующих равенствах: (9)
Как следствие, можно сделать вывод о том, что три угла поворота (θ¹, θ², θ³) одновременно составляют координаты вектора оси вращения бесконечно малого поворота, длина которой задает угол поворота вокруг этой оси.
Этот результат очень широко используется в физике при изучении взаимодействий материальных объектов с силовым полем. Один пример: если у нас известна действующая сила и ее разложение на продольную и поперечные составляющие по правилу прямоугольника, то угол поворота направления движения за достаточно малое время определяется из (9):
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу. И делитесь ссылками в ваших соцсетях!
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в ...", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Ссылка на мою статью Как написать формулы в статье на Дзен?
Мои странички на Дзен: https://zen.yandex.ru/id/5e036c95fc69ab00aecfe6e9