Определение предела (по Коши).

Определение по Коши.

Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности а, за исключением быть может самой точки и для:

Для всякого эпсилон больше нуля, существует такая дельта больше нуля, что выполняется 0<|x-a|<дельта следует |f(x)-A|<епсилон

в таком случае пишут:

Читается как "предел функции f(x) при x стремящимся к a равен числу A"

Для того, чтобы разобраться что есть эпсилон, а что есть дельта, изобразим предел графически.

графическое изображение предела, где есть функция f(x), для которой при x->a предел будет равен A.

Теперь выберем эпсилон окрестность (из определение предела видно, что выбрать следует эпсилон больший нуля). Спроецировав эпсилон окрестность на ось точки a, получаем дельта-окрестность точки а и эпсилон окрестность точки A:

Примечание: вся дельта-окрестность а лежит в эпсилон-окрестности А.

Как только x будет попадать в дельта-окрестность, он будет автоматически попадать в эпсилон-окрестность. Вернувшись к определению предела (а именно к моей подписи к формуле) видим, что из |x-a|<дельта следует |f(x)-A|<эпсилон.