Как вычислить приближенное значение определенного интеграла рассмотрено в статье.
В настоящей статье рассмотрим технологию вычисления двойного интеграла.
Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:
где D - область интегрирования (плоская фигура);
f(x,y) - подынтегральная функция двух переменных;
dx, dy -знаки дифференциалов.
Вычислить двойной интеграл – это значит найти число С:
Рассмотрим последовательность приближенного решения двойного интеграла численным методом в MS Excel.
Следует сказать, что без знания о том, что представляет собой область D, численным методом решить задачу не представляется возможным. Для построения области D нужно:
1. Создать таблицу значений аргументов функции f(x,y)с наименьшим допустимым шагом значений аргументов для заданных пределов интегрирования.
2. Построить графическое изображение и по нему определиться, что из себя представляет область D.
3. Применяя метод численного интегрирования, приведенный в статье, вычислить двойной интеграл.
Приведем примеры вычисления площади фигуры, заданной двойным интегралом.
Пример 1.
Сначала приведем простой пример, результат решения которого очевиден.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл
Область интегрирования этом примере D : y=x, y=0, x=1.
Изобразим ее на рисунке. Для этого в Excel построим таблицу значений аргументов с шагом значений dx= 0,1, введя соответствующую формулу (рис. 1).
По данным полученной таблицы построим график (рис. 2)(как строить графики функций рассмотрено в статье).
Очевидно, что областью интегрирования D является заштрихованная область.
Применяя технологию, приведенную в статье вычислим элементарные площадки ds, для чего введем в графу ds таблицы формулу, реализующую метод трапеций, и в графе Результат функцию суммирования (СУММ) как на рис. 3.
Результатом вычисления получим значение 0,5.
На этом примере мы рассмотрели общий подход к решению задачи вычисления двойного интеграла.
Рассмотрим несколько более сложных примеров (примеры взяты из публикации ).
Пример 2. Дан двойной интеграл
с областью интегрирования
Построим таблицу значений аргументов, введя соответствующие формулы (рис. 4).
По данным таблицы построим график (рис. 5)
На графике видно, что областью интегрирования является заштрихованная область. Применяя метод трапеций, введем формулу вычисления элементарных площадок ds (рис. 6.).
В результате вычисления получим результат 0,3345.
Пример 3. Построить область интегрирования и вычислить интеграл
Построим таблицу значений для х и y пределов интегрирования, введя формулы (рис. 7).
По таблице построим графики функций (рис. 8).
Из полученного рисунка видно, что область интегрирования заключена между дугой (красный) и прямой.
Применяя метод трапеций, введем формулу для вычисления элементарных площадок ds (рис.9).
В результате вычислений получим приближенное значение интеграла
С= 1.197
Пример 4. С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями x+y=5, y=x^2-1, -3<= x <= 2.
Решение. Построим в Excel таблицу значений функций пределов интегрирования с шагом dx=0,2 и их графики (рис 10).
Из полученной картинки видно, что требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями параболы и отрезка прямой.
Запишем формулы, реализующие метод трапеций, для вычисления элементарных площадок ds (рис.11).
В результате вычислений получим результат S=20,8 (отметим, что значение, вычисленное аналитически равно 20,883).
Пример 5. С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями:
Решение. Обе линии представляют собой параболы. Представим вторую из них в виде двух функций
представляющие верхнюю и нижнюю ветви. Уравнение первой параболы представим в виде
также представляющих верхнюю и нижнюю ветвь.
Как и предыдущих примерах составим табличные значения функций всех ветвей для -3 <= x <= 8 с шагом 0,3 и построим их графики (рис. 12)
Из полученного рисунка видно, что вычислять нужно площадь заштрихованной фигуры.
Формулы для вычисления приведены на рис. 13.
Обратите внимание, что при вычислении ds применяется упрощенный метод - метод прямоугольников.
В результате вычисления площади фигуры получим результат S=26,29 (аналитический расчет дает результат 26,66). погрешность можно уменьшить, уменьшив величину dx.
Приведенные примеры показывают, что используя приведенную не сложную технологию можно с достаточной степенью погрешности вычислять значение определенного интеграла.