Рада приветствовать всех на своем канале!
Сегодня поговорим о важной теме - кубических уравнениях и способах их решений. В школах им несправедливо уделяется куда меньшее внимание по сравнению с другими типами уравнений (конечно же, я намекаю на линейные и квадратные ;)). Однако на экзаменах и олимпиадах без навыка решения кубических уравнений обойтись практически невозможно.
На ОГЭ, например, уравнения данного типа периодически встречаются в самом первом номере второй части. На ЕГЭ умение раскладывать кубический многочлен на множители может понадобиться в номерах 13, 15 или 18. Про олимпиады и говорить нечего: навык решения уравнений третьей степени просто необходим всем, кто хочет быть в призерах!
Ну что, начнём???
Кубическое уравнение имеет общий вид:
Рассмотрим 3 возможных способа его решения.
1-й способ - группировка
В отдельных случаях при удачном подборе коэффициентов с помощью группировки удается разложить кубический многочлен на множители, после чего легко находятся все корни уравнения.
Внимание! Любое кубическое уравнение всегда имеет от одного до трех действительных корней.
Рассмотрим пример, в котором удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:
откуда находим, что уравнение имеет единственный корень x = 2,
так как вторая скобка при любом значении x принимает исключительно положительные значения.
Но в самом общем случае коэффициенты уравнения могут быть подобраны менее удачно, тогда решить его подобным способом не получится. В этом случае применим следующий алгоритм.
Более универсальный 2-й способ
- Ищем такой x, при котором вся левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. находим подбором первый корень x_1. Практически всегда подходит одно из чисел: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, 0.5, -0.5.
- Производим операцию деления многочлена на многочлен в столбик: делим исходный кубический многочлен на(x−x_1),
где x_1 - корень, найденный в предыдущем пункте. В результате деления получаем квадратичную функцию, корни которой находятся без труда (дискриминант или теорема Виета всем в помощь). - В ответ записываем корень x_1 и корни квадратичной функции, найденной во 2-м пункте.
Пример:
подбором находим, что корнем уравнения является число 1, т.е. y_1=1. Далее в столбик делим кубический четырехчлен, стоящий в левой части уравнения, на y−1 и получаем квадратичную функцию
Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение и находим еще два корня. В данном случае это числа 2 и 1. Таким образом, весь кубический многочлен можно записать в виде произведения:
Теперь прекрасно видно, что корнями исходного кубического уравнения являются числа 1 и 2, причем корень 1 имеет кратность, равную двум!
А как быть, если первый корень не находится подбором?
В этом случае помочь может только одно...
3-й способ - формула Кардано
Эта формула 100% сможет расколоть любое кубическое уравнение, даже с самыми страшными коэффициентами! Правда, есть у неё один минус... Она громоздкая и сложная. Настолько, что порой Вы задумаетесь, а так ли сильно хотите решить рассматриваемое уравнение :)
Если не испугались, то делюсь полезной ссылкой, по которой Вы сможете подробно ознакомиться с формулой Кардано, её выводом и примерами использования.
Именно эта формула, а точнее целый набор формул, находится внутри всех компьютерных программ, которые за считанные доли секунды способны выдать корни кубического уравнения. Однако, на экзаменах и олимпиадах полагаться приходится только на себя - никаких калькуляторов и прочих чудес техники...
В заключении статьи хочу предложить Вам проверить свои силы и закрепить пройденный материл. Для этого я приготовила три кубических уравнения. Попробуйте решить их разными способами ;) Ответы жду в комментариях!
До скорых встреч!
P.s. На канале есть и другие публикации, которые могут быть Вам интересны:
Простые советы для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
Разбираем самое "опасное" уравнение из первой части ЕГЭ по математике.
Лиге чемпионов посвящается. Подборка задач из ЕГЭ по математике с футбольным сюжетом.
Всё ли Вы знаете о ЕГЭ по математике?
ЕГЭ по математике 2020. Как это было. Подводим итоги.
Топ-5 отличий потенциального СТОбалльника ЕГЭ от обычного школьника
ЕГЭ 2021. Что год грядущий нам готовит.