Привет, юные математики!
Цепные дроби - крайне интересный раздел математики. В общем виде цепная дробь выглядит как-то так:
С одной стороны - ничего сложного, но с другой - мозги кипят, когда пытаешься понять это...
В виде цепной дроби можно представить любое вещественное число, причем конечной непрерывной дробью число можно представить только когда оно рационально.
Кроме развлечения пытливых умов, у таких дробей есть вполне реальное назначение. Они используются в теории чисел, вычислительной математике, крайне полезны в математическом анализе, физике, механике.
При большом желании, можно любое число представить в виде бесконечной цепной дроби. Давайте покажу на примере.
Возьмем самую обыкновенную цифру и попробуем представить её в виде дроби.
Теперь, всего-то нужно немного смекалки и эта простенькая дробь превратится в сгусток математического кошмара и ада для не подготовленных глаз.
Заменим единичку в делителе на точно такое же выражение.
Ну все, цепь запущена, заменяем единичку еще раз!
Думаю, смысл Вы поняли, таким образом единичку можно заменять бесконечное число раз.
А теперь, давайте взглянем на эту дробь с другой стороны. Допустим, Вы не знаете как она образовалась и задача состоит в том, чтобы найти, чему же дробь равна?
Попробуем найти ответ методом отсечения.
Просто убираем весь этот бесконечный хвост, оставив небольшой кусок и вычисляем его.
Если отсечь повыше, выйдет то же самое.
И тут закрадывается вопрос: Как же так? Ведь 1 никак не может быть равным 2!
Это точно, а потому, когда дело имеют с подобными бесконечными дробями, отсекают немного иначе.
Чем глубже опускаемся, тем меньше дроби. Если продолжить дальше, то они так и будут стремиться к единичке. А значит, отсюда вывод, что эта цепная дробь равна единице!
Публикация создавалась в ознакомительно-познавательных целях.
Источник - канал Mathologer на ютьюб.