Сегодня наш разговор в рубрике #хакнем_математика пойдёт об истории появления квадратных уравнений. По моим наблюдениям решение квадратных уравнений даётся без проблем почти всем учащимся. Но это касается решения полных квадратных уравнений вида:
Дети легко запоминают формулу дискриминанта и формулу нахождения корней:
и решают по алгоритму.
Затруднения часто вызывает почему-то решения неполных квадратных уравнений вида:
А как решали квадратные уравнения в древности?
Древний Вавилон
Необходимость решать уравнения второй степени в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие полные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, как они были найдены. Здесь отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Диофант
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, но есть ряд задач, сопровождаемых и решаемых при помощи составления уравнений. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Задача. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Мы бы стали решать эту задачу, обозначив за x — одно неизвестное число, (x – 20) — другое, и составив уравнение:
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как, если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение:
Тогда одно из искомых 10 + 2 = 12, другое 10 – 2 = 8.
Решение x= -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
В качестве неизвестного Диофант выбирает полу-разность искомых чисел, тем самым он упрощает решение, ему удаётся свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.
Индия
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхатой.
Другой индийский учёный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единой форме:
В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится:
«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».
Задачи часто облекались в стихотворную форму, вот одна задача индийского математика Бхаскары.
Задача
«Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавляясь,
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»
Составим уравнение:
Бхаскара пишет это уравнение под видом:
Чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Задача
«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения
Решение автора выглядит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, эо и будт искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII вв. Леонардо Фибоначчи
Формулы решения квадратных уравнений в Европе впервые были изложены в «Книге абака» (1202 г.) итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.
Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду
при возможных комбинациях знаков коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения принимает современный вид.
Вот такую долгую дорогу прошли квадратные уравнения. Надеюсь, вам было интересно?
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль