Математика онлайн. Доступно о сложном
Добрый день!
Данный предел встретился в сборнике задач студенческих олимпиад. Однако найти его его совсем не сложно.
Начинаем...
Пределы синуса и косинуса на бесконечности не существуют (из-за периодичности).
Поэтому будем преобразовывать выражение.
Воспользуемся "школьной" формулой разности синусов:
Теперь аргумент синуса содержит неопределенность вида "бесконечность минус бесконечность".
Чтобы ее раскрыть, умножим и тут же разделим на сопряженное выражение.
Осталось проанализировать то, что получили.
Аргумент синуса стремится к нулю. Значит, сам синус тоже стремится к нулю.
Аргумент косинуса - бесконечно большая функция. Косинус на бесконечности не определен. Зато известно, что эта функция - ограниченная (от -1 до +1).
Таким образом, имеем произведение бесконечно малой и ограниченной функций, т.е. бесконечно малую функцию.
Следовательно, предел равен нулю.
Вот и все решение!
Задание - из книги "Задачи студенческих олимпиад по математике". Авторы - Берковича Ф.Д., Федий В.С.
Другие статьи серии "Задачи студенческих олимпиад"
О канале
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).