Математика онлайн. Доступно о сложном
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Этот интеграл можно было бы вычислить при помощи введения нескольких новых переменных.
Но мы поступим по-другому.
Вспомним, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком подынтегральной функции.
Выпишем ее и немного преобразуем:
Дополним второе и третье слагаемые до полного квадрата разности. Свернем формулу и, для удобства, поменяем слагаемые местами.
Видим, что получилось уравнение окружности с центром в точке (1;0) и радиусом R=1.
Так как в задании корень стоял со знаком "+", то y>0. Следовательно, возьмем только верхнюю половину окружности.
Таким образом, интеграл равен площади половины круга.
Задача - из книги Говорова В.М. и др. "Сборник конкурсных задач по математике". Она предлагалась на устном экзамене в КГУ в 1981 году.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии "Нестандартные задачи"
О канале