Данная статья посвящена решению квадратных неравенств.
Квадратное неравенство – это неравенство вида ax² + bx + c знак неравенства 0. Возможные знаки неравенства: <, >, ≤, ≥
Иными словами, главный признак того, что неравенство является квадратным, это наличие 2-й степени у переменной при условии, что это ее максимальная степень.
Алгоритм решения квадратного неравенства:
- Привести неравенство к виду ax² + bx + c знак неравенства 0.
- Решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Найти корни x₁ и x₂.
- Отметить корни x₁ и x₂ на числовой прямой X. Выделенные точки будут либо закрашены, либо не закрашены в зависимости от знака неравенства. Если знак строгий (< или >), то точки будут не закрашены. Если знак не строгий (≤ или ≥), то точки будут закрашены.
- На получившихся промежутках поставить знаки «+» или «-».
- Выбрать промежутки, которые удовлетворяют знаку неравенства.
Ответом будет промежуток (или промежутки) значений, которые может принимать переменная.
Например, если ответом какого-то неравенства является запись x ∈ [0;10], то x может быть любым числом с этого промежутка: 0, 0,000001, 9, 5,3, 8,03 и т.д.
Пример
Решить неравенство (3x - 7)² ≥ (5x - 9)².
Извлекать корень в таком случае нельзя, потому что получится линейное неравенство. Нужно раскрыть скобки и упростить выражение.
9x² - 42x + 49 ≥ 25x² - 90x + 81
-16x² + 48x - 32 ≥ 0
Оказалось, что это квадратное неравенство. Упростим его для удобства нахождения ответа: разделим обе части на -16 (1 пункт алгоритма решения).
x² - 3x + 2 ≤ 0
Решим квадратное уравнение (2 пункт алгоритма решения).
x² - 3x + 2 = 0
x₁ = 1
x₂ = 2
Отметим корни x₁ и x₂ на числовой прямой X (3 пункт алгоритма решения). Так как знак неравенства не строгий (≤), то точки будут закрашенные.
Получили три промежутка:
- (-∞;1]
- [1;2]
- [2;+∞)
На каждом из них расставим знаки (4 пункт алгоритма решения). Для этого возьмем числа с каждого промежутка и подставим их в выражение x² - 3x + 2:
- Пусть x = 0. Тогда x² - 3x + 2 = 0 - 0 + 2 = 2. 2 > 0, поэтому на данном промежутке ставим знак «+».
- Пусть x = 1,5. Тогда x² - 3x + 2 = 2,25 – 4,5 + 2 = -0,25. -0,25 < 0, поэтому на данном промежутке ставим знак «-».
- Пусть x = 10. Тогда x² - 3x + 2 = 100 – 30 + 2 = 72. 72 > 0, поэтому на данном промежутке ставим знак «+».
Решение в итоге вычисляется для неравенства x² - 3x + 2 ≤ 0. Ему удовлетворяют промежутки, где x ≤ 0 (смотрим на знак самого неравенства). На прямой X такой промежуток один - средний (5 пункт алгоритма решения ). Можно записать ответ.
Ответ: x ∈ [1;2]
Если остались вопросы, можно задать их в комментариях.
Записаться на занятия можно по телефону или через почту. Все контакты в профиле канала.
Предыдущие материалы по теме
Как решать квадратные уравнения
Как решать биквадратные уравнения
Как решать кубические уравнения