#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳
Предлагаю вниманию читателей канала Хакнем Школа ещё одну, актуальную для пятиклассников в связи с грядущей входной диагностикой, задачу из демоверсии ВПР-2020 по математике для 4-го класса. В этой статье я приведу три различных решения одной часто встречающейся задачи.
ТУРНИРНАЯ ЗАДАЧА
Почему я назвал эту задачу именно так? На это существует две причины:
первая: с математическим содержанием этой задачи я познакомился в далёкой юности в следующей редакции:
«В шахматном турнире, в котором каждый играет с каждым по одной партии участвовали n (конкретное число не играет особой роли) учеников: 5-го класса. Сколько партий было сыграно в турнире?» (можно также интересоваться числом пар, которые могут образовать n человек).
В то время я часто играл в шахматных турнирах, и именно это обстоятельство позволило мне найти два совершенно различных решения этой задачи.
О второй причине я расскажу в конце статьи, сейчас же предлагаю ученикам, прежде чем читать дальше, попытаться решить задачу самостоятельно.
ПЕРВОЕ РЕШЕНИЕ
Первое решение никак с турнирами не связано. Попытайтесь представить себе шеренгу из 9-ти человек…
Вот первый из них пошёл вдоль шеренги, обмениваясь рукопожатием с каждым в ней стоящим человеком.
Разумеется, что он сделал 8 рукопожатий и отошёл в сторону.
За ним пошёл второй — он сделал 7 рукопожатий, на одно меньше первого.
Следом пошёл третий — он сделал 6 рукопожатия…
Восьмому довелось сделать только одно рукопожатие — остальные с ним же поздоровались…
Решение задачи будет выглядеть так: 8 + 7+ 6 + 5+ 4+ 3 + 2 + 1 = 36 (рукопожатий). Обобщение этого решения выглядит следующим образом:
(n - 1) + (n - 2) +...+ 2 + 1 = ?
Если обозначить число рукопожатий через N, то обратная задача определения числа друзей по числу рукопожатий решается последовательным вычитанием из N чисел 1, 2, 3, ...до тех пор, пока в итоге не получится 0, Увеличив на единицу последнее вычитаемое мы получим число встретившихся друзей:
N - 1 - 2 - 3 - …- (n-2) - (n-1) = 0 <=> N = 1 + 2 + 3 + ... +(n - 2) + (n - 1).
ПРИМЕР. Пусть N = 10, тогда 10 = 1 + 2 - 3 + 4 = 0 => n = 4 + 1= 5:
или N = 78, тогда 78 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 + 11+12 => n = 12 + 1 = 13.
Но это достаточно непростой путь. Ниже я упомяну о более простом способе вычисления числа участников по числу партий, но тот способ требует умения решать квадратные уравнения.
ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ
Играя в турнире можно заметить, что игры проходят по турам, в каждом из которых в каждой партии встречаются двое участников. Если число участников чётное, то число партий равно половине числа участников. В этом случае, число туров равно числу на 1 (единицу) меньшему числа участников.
То есть, если участников 8, то (8 : 2) × (8 - 1) = 4 × 7 = 28.
Если же число участников, как и в нашей задаче, нечётно, то в каждом туре один участник отдыхает, и тогда число туров равно числу участников. Из 9 человек можно организовать только четыре пары, и задача решается в одно действие: 4 × 9 = 36.
ТРЕТЬЕ РЕШЕНИЕ
Каждый участник турнира играет на 1 партию меньше числа участников.
В каждой партии играют два шахматиста, но тогда произведение n (n -1) каждую партию учитывает дважды.
Значит ответом служит значение выражения: n(n-1) /2.
Применительно к нашей задаче решение будет выглядеть так:
9 × (9 - 1) / 2 = 9 × 8 / 2 = 9 × 4 = 36.
Последнее преобразование в цепочке приведённых равенств сделано с использованием ОСНОВНОГО СВОЙСТВА ДРОБИ, рассмотрение которого я сделаю в следующей статье цикла «Дроби».
Добавлю, что третье решение обладает «обратным свойством», т.е. позволяет решить обратную задачу: узнать число участников по числу пар (партий, рукопожатий и т.п).
Для этого надо решить уравнение
n (n - 1) : 2 = N,
которое сводится к квадратному, а квадратные уравнения изучаются в 8 классе.
Впрочем, можно найти представление числа N*2 в виде произведения двух последовательных натуральных чисел (n-1) × n.
Желаю пятиклассникам и всем другим школьникам успешно пройти входную диагностику.
Если вам было интересно, не забудьте подписаться на наш канал и хэштег #хакнем_математика
Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.
Другие статьи автора:
- Почему килограмм гвоздей всё таки тяжелее килограмма ваты?
- Популярная задача по физике, на которую во многих учебниках приводится неправильный ответ
- Математический концерт